Enoncé

La réponse est : $7$ suites.

Observons que si la somme se fait sur un nombre impair de termes, comme par exemple
$105=34+35+36$, alors le terme qui est au centre correspond à la moyenne de tous les termes :
$\frac{34+35+36}{3}=\frac{105}{3}=35$. Cela veut dire que $105$
divisé par le nombre de termes de la suite est un
entier. On cherche donc maintenant les diviseurs positifs de 105. Comme la
décomposition en facteurs premiers de $105$ est $105=3\times 5\times 7$, les
diviseurs de 105 sont 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 et 105 (tous impairs). On élimine le
1 puisque l’énoncé requiert que la suite ait au moins 2 termes. D’autre part, si on a 15
termes dans la somme, le terme qui est au centre est $\frac{105}{15}= 7$, donc
les nombres consécutifs qu’on doit additionner sont 0, 1, 2,$\ldots$, 14. Mais ces nombres ne sont pas tous positifs : on doit éliminer le cas où la somme a 15 termes. De même, on élimine les cas où la somme a 21, 35 ou
105 termes. Par conséquent, on peut avoir uniquement 3, 5 ou 7 termes
dans la somme.

D’autre part, si la somme se fait sur un nombre pair de termes, comme par exemple $52+53=105$, on voit que la moyenne de tous les termes est exactement entre les deux nombres centraux de la suite. Si la suite a $2n$ termes pour un $n$ entier, il faut donc que $\frac{105}{n}$ soit un nombre entier, c’est-à-dire que $n$ doit être un diviseur de $105$.
On peut donc avoir 2, 6, 10, 14, 30, 42, 70 ou 210 termes. Mais, comme on
veut considérer seulement des entiers positifs, on doit éliminer
toutes les suites de longueur supérieure à 14.

Par conséquent, il y a au total sept manières d’écrire 105 comme somme d’entiers
positifs consécutifs