Un défi par semaine

Juin 2018, 5e défi

Le 29 juin 2018  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 26

Le grand cercle a une aire de $1\, cm^2$. Quelle est l’aire
du petit cercle ?

Solution du 4e défi de Juin :

Enoncé

La réponse est : $2$ chevaliers.

Supposons que Louis est un artisan. Dans ce cas, Paul est chevalier, et il dit la vérité : il est donc le seul chevalier parmi les quatre. Mais alors, Charles dit la vérité et doit être chevalier, ce qui est impossible.

Donc notre supposition était fausse, et Louis doit être chevalier. Dans ce cas, Paul est un artisan, donc Pierre ment. Pierre est artisan, et par conséquent Charles dit la vérité : il est chevalier. Il y a donc deux chevaliers : Louis et Charles.

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Juin 2018, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2018

Commentaire sur l'article

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  • Juin 2018, 5e défi

    le 29 juin 2018 à 15:22, par drai.david

    Soient $r$ le rayon du petit cercle, $R$ celui du grand et $\alpha$ l’angle.

    On a donc :$\frac{r}{2R-r}=\sin{\frac{\alpha}{2}}\Leftrightarrow r=\frac{2R}{1+\frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}}}\Leftrightarrow\pi r^2=\frac{4}{\left ( 1+\frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}} \right )^2}\pi R^2$.

    Avec $\pi R^2=1$, on obtient donc que l’aire du petit cercle vaut $\large{\boldsymbol{\frac{4}{\left ( 1+\frac{1}{\sin \frac{\alpha}{2}} \right )^2}}}$.
    Application numérique : si $\alpha=60°$, l’aire vaut $\large{\boldsymbol{\frac{4}{9}}}$.

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