Enunciado

La respuesta es $12$ .

Llamemos $ x $ la suma de las cifras que están en las posiciones impares del número con cinco cifras, e $ y $ la suma de las cifras en las posiciones pares. Observemos que para que el número sea divisible por $ 11$, el valor de $ x-y $ debe ser igual a $ -11$, $ 0 $ u $ 11$, pero como $ x+y=1+2+4+7+9=23$, se obtiene que $ x-y=-11$ o $ x-y=11$.

Si $ x-y= -11 $ se tiene que $ (x-y)-(x+y)=-2y=-34 $, por lo que $ y=17 $. Como $ y $ es la suma de dos de las cifras en posiciones pares, $ y\leq 9+7=16$. Por lo tanto, no es posible tener $ x-y=-11 $ .

Si $ x-y=11 $ se tiene que $ (x-y)+(x+y)=2x=34$, de donde $ x=17$. Por lo tanto, los tres números en las posiciones impares son $ 1$, $ 7$ y $ 9$, en un orden cualquiera, y en las posiciones pares se encuentran el $ 2$ y el $ 4$. Hay seis posibilidades para colocar $1, 7, 9 $, y dos para $2,4$. Hay por lo tanto $ 6 \times 2=12 $ múltiplos de $ 11 $ formados con esas cifras.