Un desafío por semana

Julio 2015, segundo desafío

El 10 julio 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 10 julio 2015
Artículo original : Juillet 2015, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 28:

La sucesión de números $5$; $5$; $-13$; $5$; $5$; $5$; $-13$; $5$; $5$; $-13$; $5$; $5$; $5$; $-13$ tiene la siguiente propiedad: la suma de siete números consecutivos de esta sucesión es $-1$ y la suma de once números consecutivos es $1$. ¿Cuántos números $5$ o $-13$ podemos agregar a la derecha de esta sucesión de manera que la propiedad se conserve?

Solución del primer desafío de julio:

Enunciado

La respuesta es $\widehat{BCA}=72^{\circ}$.

Como el triángulo $ABC$ es isósceles y $AB=AC$, tenemos

$\widehat{CAB} = 180^\circ - 2\widehat{BCA}.$

PNG - 21.3 KB

Ahora, como el triángulo $DBC$ es isósceles (porque $BD=BC$), tenemos $\widehat{BCA}=\widehat{CDB}$. Finalmente, como el triángulo $ABD$ es isósceles, deducimos que $AD$ es menor que $AB$ y entonces $AD=BD$. Así, $\widehat{ABD}=\widehat{DAB}=\widehat{CAB}$. Entonces

$2\widehat{CAB} +\widehat{BDA} = 180^\circ$

$2\widehat{CAB} = 180^\circ -\widehat{BDA}$

$2\widehat{CAB} = 180^\circ -(180^\circ-\widehat{CDB})$

$2\widehat{CAB} = \widehat{CDB}$

$\widehat{CAB} = \frac{\widehat{BCA}}{2}.$

Volviendo al triángulo $ABC$ tenemos $180^\circ= 2\widehat{BCA} +\frac{1}{2}\widehat{BCA}$ lo que implica $\widehat{BCA}=\frac{2\times 180^\circ}{5}=72^\circ$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Julio 2015, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - Ievgen Sosnytskyi / SHUTTERSTOCK

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