Enunciado

La respuesta es sí.

Comencemos con un damero de $2\times 2$ . Una manera de construirlo es

Ahora vamos a construir un damero de $4\times 4$ . Para hacer esto, utilizaremos el damero de $2\times 2$ . Para que las sumas obtenidas sigan siendo distintas, agregamos $1$ y $-1$ de la manera siguiente:

Para completar el damero, basta con incluir el damero de $2\times 2$ que hemos construido, pero dándolo vuelta:

Observamos que podemos construir un damero de $(2k+2)\times (2k+2)$ a partir de un damero de $2k \times 2k$. En el damero de $2k \times 2k$ las sumas serán iguales a $-(2k-1)$, $-(2k-2)$, $\dots$, $-(2k-(2k-1))$, $0$, $\ldots, 2k$. Por lo tanto, para construir un damero de $(2k+2)\times (2k+2)$ se coloca un damero de $2k \times 2k$ en la parte superior izquierda, luego se dispone los números $1$ en las $2k$ primeras casillas de la $(2k+1)$-ésima línea y los números $-1$ en las $2k$ primeras casillas de la $(2k+2)$-ésima línea y en las $2k$ primeras casillas de la $(2k+2)$-ésima columna. Finalmente, se coloca el damero de $2\times 2$ que se construyó al inicio, pero con las líneas invertidas.

Se ve que las sumas de los números de las $(2k+2)$ columnas y de las $(2k+2)$ líneas del damero de $(2k+2)\times (2k+2)$ van de $-(2k+1)$ a $(2k+2)$. De esta manera se tiene todos los números de $-(2k+1)$ a $2k+2$. Así, es posible construir un damero de $2n\times 2n$ para todo natural positivo $n$ . En particular, es posible construir un damero de $1000\times 1000$.