Enunciado

La respuesta es $26$ cm.

Notemos que los triángulos $ABN$ y $MBC$ son rectángulos.

Podemos aplicar entonces el teorema de Pitágoras en estos triángulos :

$AB^2+\left(\frac{BC}{2}\right)^2 = AN^2 = 19^2$

$BC^2+\left(\frac{AB}{2}\right)^2 = MC^2 = 22^2.$

Al despejar $BC^2$ en la segunda ecuación y reemplazándolo en la primera, obtenemos :

$AB^2+\frac{22^2-\frac{AB^2}{4}}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{22^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2+\frac{2^2\cdot 11^2}{4} = 19^2$

$\frac{15}{16}AB^2 = 19^2-11^2$

$AB^2 = \frac{240\cdot 16}{15}=16^2.$

Entonces, $BC^2=22^2-\frac{16^2}{4}=420$ y

$AC=\sqrt{BC^2+AB^2}=\sqrt{420+256}=26\,\mbox{cm}.$