La botella de Klein fue introducida en 1882 por el matemático alemán Félix Klein. Es un ejemplo relativamente simple de superficie que no se puede dibujar en el espacio euclidiano habitual... a menos que se haga algunas concesiones como, por ejemplo, autorizar a la superficie a cortarse ella misma : se habla entonces de auto-intersección.

¿Por qué tal patología ? Es que en realidad no es posible definir una orientación global sobre la botella de Klein ; en otras palabras, no es posible definir un ’’interior’’ y un ’’exterior’’.

Aquí hay una pequeña película realizada por Jos Leys que nos muestra cómo construir tal superficie a partir de dos cintas que se llaman cintas o bandas de Möbius. ¡Tome sus tijeras y papel !

¿Por qué un objeto así es tan interesante ? Bueno, es que numerosas superficies de hecho son no-orientables y sin embargo extremadamente importantes. Por ejemplo, cuando se hace geometría afín en el plano, a menudo uno es conducido a distinguir casos particulares que desearía saltarse. Recuerde usted : dos rectas distintas se cortan siempre en el plano... salvo si son paralelas. Los matemáticos han comprendido desde hace tiempo (en realidad, desde hace mucho tiempo, pero digamos que realmente las cosas serias comenzaron con Pascal y Desargues en el siglo XVII) que esos pequeños inconvenientes desaparecen si uno se permite agregar algunos puntos en el infinito. Dos rectas paralelas distintas se cortan... pero en el infinito. Uno entonces hace geometría proyectiva. Adivine : el plano proyectivo es una superficie no-orientable... ¡como la botella de Klein !