La première fois que j’ai entendu parler de la conjecture de Casas-Alvero, j’ai eu du mal à croire qu’elle puisse être difficile à démontrer. Bien d’autres ont eu cette impression je pense. En dépit de sa saveur classique, la conjecture n’a été formulée qu’il y a un peu plus de dix ans. Voici l’énoncé :

Eduardo Casas-Alvero

Ici, on dira indistinctement zéro ou racine pour les nombres complexes $a$ annulant un polynôme $g(x)$ donné.

Assurez-vous que vous avez bien saisi l’énoncé de la conjecture : a priori, une racine commune de $f^{(i)}(x)$ avec $f(x)$ peut dépendre du choix de $i=1, \dots, d-1$. La conjecture de Casas-Alvero prédit que, en fait, cette racine commune est forcément la même pour tout $i$, à savoir $a$ dans les notations de la conjecture.

Eduardo Casas-Alvero, l’auteur de cette conjecture, est un mathématicien espagnol qui à la fin des années 90 étudiait quelques aspects des courbes planes complexes. En élaborant une version préliminaire de l’une de ses démonstrations, il avait utilisé la conjecture ci-dessus, la considérant comme un détail facile à vérifier plus tard. Voilà un sentiment familier...

Où se trouvent les racines de la dérivée ?

Étant donné un polynôme $f(x)$, peut-on prédire où se trouvent les racines de sa dérivée ? Les origines de cette question datent du XVII^ème siècle, lors de la démonstration par Michel Rolle de son fameux théorème.

Est-ce que, depuis lors, ce résultat a été amélioré ? Plus précisément,

• Peut-on délimiter des intervalles plus étroits contenant une racine de $f^{(1)}(x)$ ?
• Existe-t-il une version complexe du théorème de Rolle ?

A ces deux questions, la réponse est : oui, si l’on est prêt à payer un prix.

• Des intervalles plus étroits ont été donnés sous certaines hypothèses supplémentaires, par exemple dans le cas où tous les zéros de $f(x)$ sont réels [H-08].
• Dans le cas complexe on dispose d’un joli résultat de Félix Lucas, qui s’appuyait sur une observation de Carl-Friedrich Gauss :
  
  Théorème de Gauss-Lucas : Soit $f(x) \in \mathbb{C}[x]$ un polynôme non-constant, et soit $S$ l’enveloppe convexe [2] des racines de $f(x)$ dans le plan complexe. Alors toutes les racines de $f^{(1)}(x)$ sont contenues dans $S$. De plus, toute racine de $f^{(1)}(x)$ qui n’est pas simultanément une racine de $f(x)$ se trouve dans l’intérieur relatif de $S$.

  La démonstration est belle et simple : voir wikipédia. Nous aurons besoin plus loin de toute la force de ce théorème, y compris de sa dernière affirmation. Précisons que l’intérieur relatif de $S$, c’est $S$ privé de son bord relatif ; c’est donc un segment de droite ouvert si $S$ est un segment de droite fermé, et c’est un polygone ouvert si $S$ est un polygone fermé non-réduit à un segment de droite.

  Illustration du théorème de Gauss-Lucas (ci-droite) :
  racines de $f(x) = x(x^3-1)(x^2+1)$ et de $f^{(1)}(x)$.

  Le théorème de Gauss-Lucas n’est pas une généralisation stricte du résultat de Rolle : si on l’applique à un polynôme réel satisfaisant aux hypothèses du théorème de Rolle, le théorème de Gauss-Lucas ne nous permet pas d’affirmer que $f^{(1)}(x)$ admet une racine réelle comprise entre $a$ et $b$. La seule situation dans laquelle nous pouvons comparer honnêtement les deux théorèmes est celle où $f(x)$ est un polynôme réel dont toutes les racines sont réelles. Dans ce cas, le théorème de Gauss-Lucas est beaucoup moins fort que celui de Rolle. Voir aussi cet article dans Images des Mathématiques.

Malheureusement, nos connaissances actuelles dépassent à peine ce qui précède.
Le monde mathématique n’est pas capable de répondre à certaines questions peu ambitieuses en apparence. Par exemple, la présomption de Blagovest Sendov, est-elle vraie ou fausse ?

Néanmoins, ce genre de questions est omniprésent. Par exemple, elles apparaissent dans l’étude des problèmes d’extrema : si l’on veut calculer numériquement une racine de $f^{(1)}(x)$ à partir d’une approximation en utilisant la méthode de Newton-Raphson, il est important d’avoir une bonne idée de l’endroit où se trouve cette racine.

La conjecture de Casas-Alvero peut être vue dans ce cadre. Certes, il s’agit d’une question très spécifique. Mais elle a l’avantage de pouvoir être formulée en termes purement algébriques (voir ci-dessous). Alors que d’autres conjectures similaires s’avèrent trop difficiles, ici une nouvelle gamme de techniques a été mise à jour qui, si elles n’ont pas encore abouti à une preuve, ont permis d’enregistrer des progrès substantiels : la conjecture de Casas-Alvero a été démontrée pour un nombre infini de degrés $d$, y compris pour tout $d \leq 19$. Comparer : la conjecture de Sendov est ouverte pour tout $d \geq 9$.

La plus grande percée jusqu’ici a été établie par Hans-Christian Graf von Bothmer, Olivier Labs, Josef Schicho et Christiaan van de Woestijne [GLSW-07], qui ont démontré l’assertion suivante :

Quelle surprise que les nombres premiers entrent en jeu !

Dans ce qui suit, nous allons nous contenter d’établir la conjecture pour $d\leq 4$, et ce
par deux méthodes totalement différentes : la première, très élégante, repose sur la localisation des racines complexes d’un polynôme via le théorème de Gauss-Lucas, tandis que la deuxième est de nature purement algébrique. Dans les deux cas, il est plus facile de raisonner avec une forme normalisée de la conjecture de Casas-Alvero, c’est l’objet du prochain paragraphe.

Mais avant d’entrer dans le vif du sujet, nous vous suggérons d’essayer l’applet suivante (écrite par Jan Draisma et Johan de Jong [DdJ-11]) pour vous faire une idée du comportement des racines des dérivées successives ; vous avez besoin de java pour voir cette applet.

Normalisation

Dans le plan complexe, la position relative des racines de $f(x)$ par rapport aux racines de ses dérivées consécutives ne varie pas sous des transformations ayant la forme suivante :

1. $f(x) \leftarrow cf(x)$ pour un nombre $c \in \mathbb{C} \setminus \{0\}$  (aucun changement)
2. $f(x) \leftarrow f(x + a)$ pour un nombre $a \in \mathbb{C}$  (translation de vecteur $-a$)
3. $f(x) \leftarrow f(rx)$ pour un nombre $r \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$  (dilatation de rapport $r^{-1}$)
4. $f(x) \leftarrow f(e^{i\theta}x)$ pour un nombre $\theta \in [0, 2\pi [$  (rotation d’angle $-\theta$)

En effet, chacune de ces transformations commute avec la dérivation, à multiplication près par une constante non nulle.

Démonstration : La remarque précédente nous garantit que si $f(x)$ viole la conjecture de Casas-Alvero, alors tout polynôme qui est obtenu à partir de $f(x)$ en appliquant une suite finie de transformations mentionnées ci-dessus est encore un contre-exemple.
Comme $f(x)$ et $f^{(1)}(x)$ ont une racine commune, nous savons que $f(x)$ possède une racine double $a_0 \in \mathbb{C}$. De plus, étant un contre-exemple à la conjecture de Casas-Alvero, $f(x)$ a une racine $a_1 \in \mathbb{C}$ qui est distincte de $a_0$. En utilisant d’abord une translation, on peut supposer $a_0=0$. Puis en utilisant une dilatation, on peut en outre supposer que $a_1$ est de module 1. Finalement, en utilisant une rotation, on peut s’arranger pour avoir $a_1=1$. $\blacksquare$

La conjecture de Casas-Alvero pour $d\le 4$ avec le théorème de Gauss-Lucas

Il existe plusieurs manières de se servir du théorème de Gauss-Lucas en montrant que le degré $d$ d’un hypothétique contre-exemple $f(x)$ à la conjecture de Casas-Alvero est au moins $5$. La façon la plus simple intègre le théorème de Rolle et est décrite dans [DdJ-11, Section 3]. Ici, nous allons suivre une approche différente, qui nous permettra de tirer la conclusion plus forte que $f(x)$ admet au moins $4$ racines distinctes (et est donc de degré au moins $5$ puisque l’une de ces racines, commune avec $f^{(1)}(x)$, est de multiplicité au moins $2$).

On dira d’un sous-ensemble $R$ des racines de $f(x)$ que c’est un ensemble de racines recyclées si pour tout $i=1,\dots,d-1$, il existe $a$ dans $R$ tel que $f^{(i)}(a) = f(a) = 0$. Notons que, puisque $f(x)$ est un contre-exemple, de tels sous-ensembles $R$ existent, par exemple l’ensemble de toutes les racines de $f(x)$. Il se pourrait a priori qu’il y en ait de bien plus petits... mais pourtant pas trop quand même, comme le montre l’observation suivante, due à Draisma et de Jong [DdJ-11]. La démonstration est très belle, je vous la recommande !

Voici un corollaire qui va nous rapprocher très sensiblement de notre objectif.

Notre assertion sur le nombre de racines distinctes en découle immédiatement. En effet, en utilisant les mêmes notations, le convexe $S$ n’est pas réduit à un point puisque $f(x)$, en tant qu’hypothétique contre-exemple, admet plus d’une racine. Donc le bord de $S$ est constitué de $2$ points extrémaux si c’est un segment de droite, et d’au moins $3$ points extrémaux si c’est un vrai polygone ; ces points extrémaux sont évidemment des racines de $S$, par définition de $S$. De plus, le corollaire affirme que l’intérieur relatif de $S$ contient au moins $2$ racines de $f(x)$. Donc $f(x)$ admet au moins $4$ racines distinctes (au moins $5$ si $S$ est un vrai polygone).

Avec un peu plus d’effort on peut démontrer qu’un contre-exemple doit avoir au moins cinq racines distinctes [CLO-13], ce qui implique $d \geq 6$.

La méthode algébrique

Donnons une démonstration alternative de la conjecture de Casas-Alvero en degré $d=4$.

Nous avons vu que s’il existe un contre-exemple, alors il existe un contre-exemple ayant la forme
\[ f(x) = x^2(x-1)(x-a_2).\]
L’existence d’une racine commune avec $f^{(1)}(x)$ est automatiquement satisfaite, c’est $0$. Donc il suffit de nous préoccuper de $f^{(2)}(x)$ et $f^{(3)}(x)$.

Voici une raison pour laquelle $f(x)$ pourrait être un contre-exemple :
\[ f^{(2)}(a_2) = 0, \qquad f^{(3)}(1) = 0. \]
Comme $f^{(2)}(x) = 12x^2 - (6a_2 + 6)x + 2a_2$ et $f^{(3)}(x) = 24x - 6a_2 - 6$
ceci se traduit en
\[ \left\{ \begin{array}{c} 6a_2^2 - 4a_2 = 0 \\ 18 - 6a_2 = 0. \\ \end{array} \right. \]
Ce système n’a pas de solutions.
En faisant la même chose pour les autres scénarios
selon lesquels $f(x)$ pourrait être un contre-exemple, on obtient une contradiction globale, concluant la démonstration.

Bien que cette preuve soit plus élémentaire que la précédente, elle est moins satisfaisante : de cette façon, la conjecture de Casas-Alvero en degré $4$ semble plutôt une coïncidence. Pourtant :

• Cette technique n’est pas spécifique à $d=4$ : elle peut être généralisée à un $d$ quelconque. On part d’un contre-exemple hypothétique
  \[ f(x) = x^2(x-1)(x-a_2)(x-a_3) \cdots (x-a_{d-2}),\]
  et on considère chaque scénario selon lequel $f(x)$ pourrait être un contre-exemple, comme par exemple
  \[ f^{(2)}(a_3) = 0, \quad f^{(3)}(a_8) = 0, \quad f^{(4)}(0) = 0, \quad f^{(5)}(a_2) = 0, \quad \dots, \quad f^{(d-1)}(1) = 0.\]
  En principe, ceci nous permet de vérifier la conjecture de Casas-Alvero pour tout degré $d$ concret... Mais on se heurte à deux problèmes de taille :
  • Nos meilleurs algorithmes pour décider la solvabilité d’un système d’équations non-linéaires ont une complexité épouvantable.
  • On voit qu’on doit tenir compte de $(d-1)^{(d-2)}$ scénarios. Donc le nombre de systèmes à considérer en degré $d$ croît de façon exponentielle en $d$. (En utilisant la théorie des résultants, on peut combiner ces systèmes afin d’obtenir un seul système, mais comme sa taille est gigantesque, la situation est encore pire.)

  Néanmoins, on peut utiliser cette approche pour démontrer la conjecture de Casas-Alvero d’une façon plus ou moins naïve jusqu’à $d=8$ (à l’aide d’un ordinateur). Si l’on tient compte de certaines considérations théoriques, cela peut être poussé jusqu’à obtenir le cas $d=12$. Voir [DG-06] et [CLO-13].

• Pour certaines valeurs de $d$, il y a bien une raison théorique claire pour laquelle ces systèmes n’ont aucune solution, mais cette raison réside dans la théorie des nombres plutôt que dans l’analyse ! C’est exactement l’observation de Graf von Bothmer et de ses co-auteurs, mentionnée ci-dessus.

Références

[CA-01]
Eduardo Casas-Alvero, Higher order polar germs, Journal of Algebra 240(1), pp. 326-337 (2001)

[CLO-13]
Wouter Castryck, Robert Laterveer, Myriam Ounaïes, Constraints on counterexamples to the Casas-Alvero conjecture, and a verification in degree 12, Mathematics of Computation, à paraître (version arXiv) (2013)

[DG-06]
Gema M. Diaz-Toca, Laureano Gonzalez-Vega, On analyzing a conjecture about univariate polynomials and their roots by using Maple, Proceedings of the Maple Conference 2006, Waterloo (Canada), July 23-26, 2006, pp. 81-98 (2006) (résumé sur Zentralblatt)

[DdJ-11]
Jan Draisma, Johan P. de Jong, On the Casas-Alvero conjecture,
EMS Newsletter June 2011, pp. 29-33 (2011) + erratum

[GLSW-07]
Hans-Christian Graf von Bothmer, Oliver Labs, Josef Schicho, Christiaan van de Woestijne, The Casas-Alvero conjecture for infinitely many degrees, Journal of Algebra 316(1), pp. 224-230 (2007) (version arXiv)

[H-08]
Alan Horwitz, Ratio vectors of polynomial-like functions, Journal of inequalities in pure and applied mathematics 9(3), Article 76, 11 pp. (2008)

[Web-11]
^DiAmOnD^, La conjetura de Casas-Alvero, contada por Eduardo Casas-Alvero, gaussianos.com (2011)