Extrait du Chapitre 2 - L’histoire des probabilités

Une histoire de probabilité récente

Lors d’un concours à la télévision, le grand finaliste se trouve devant trois portes
identiques fermées. Derrière l’une de ces trois portes se trouve le « gros lot », une
voiture par exemple, alors que derrière les autres se trouvent des lots sans valeur. Il
lui faut choisir une seule des portes. Une fois qu’il l’a choisie, le présentateur décide
d’entretenir le suspense et lui ouvre l’une des deux autres portes, qui ne cache
pas le gros lot, lui donnant une nouvelle chance : bien sûr, le finaliste peut conserver
son choix, mais il peut changer pour l’autre porte fermée. Quel choix est le
plus avantageux ? Vaut-il mieux conserver son premier choix ou le changer ? Cela
revient-il au même ?
Il semble que ce soit insignifiant et que les deux options soient identiques.
Pourtant, ce problème, connu sous le nom de « problème de Monty Hall », a donné
lieu récemment à de nombreuses discussions auxquelles ont participé des mathématiciens
connus. Ce qui prouve que les probabilités ne sont pas encore si bien
comprises qu’on le croit.

De 1963 à 1990 eut lieu aux États-Unis un concours à la télévision appelé Let’s
Make a Deal (« Faisons un pari »), dont le présentateur célèbre était Monty Hall,
d’où le problème mentionné précédemment tire son nom. Pendant des années,
plus de trois cents journaux de ce pays présentaient une colonne intitulée « Question
à Marilyn » dans laquelle étaient publiées des questions et des réponses. La
responsable de cette colonne, la célèbre Marilyn vos Savant, apparaît dans le Livre
Guinness des records comme la personne ayant le plus fort quotient intellectuel du
monde, avec un score de 228. Elle était par ailleurs mariée au médecin et scientifique
Robert Jarvik, l’inventeur du coeur artificiel, ce qui augmenta encore sa
notoriété. un dimanche de septembre 1990, elle publia dans sa colonne la question
du problème exposé plus haut : « Est-ce avantageux pour le finaliste de changer son
choix de porte ? »
Marilyn répondit que c’était plus avantageux. Cela provoqua une terrible avalanche
de lettres des lecteurs, environ 10 000, tous quasiment unanimes : 92 % lui
disaient qu’elle s’était en réalité trompée et qu’ils étaient stupéfaits qu’une personne
comme elle donne une réponse aussi incorrecte à une question si simple.
Même de nombreux professeurs de mathématiques lui écrivirent, indignés, en disant
par exemple : « Laissez-moi vous expliquer : si l’on vous montre une porte
perdante, cette information change la probabilité de tout choix préalable, et aucune
des portes n’a de raison d’être plus probable qu’1/2. En tant que mathématicien
professionnel, je suis très préoccupé par le manque de compétence mathématique
du public en général. S’il vous plaît, aidez-nous en avouant votre erreur et, à
l’avenir, soyez plus prudente. » Ou encore : « Je suis bouleversé. Après avoir été
corrigée par au moins trois mathématiciens, vous persistez à ne pas admettre votre
erreur. » Et aussi : « Combien faudra-t-il de mathématiciens indignés pour que
vous changiez d’avis ? » Les lettres continuèrent d’affluer en quantité industrielle
pendant longtemps jusqu’à ce qu’après avoir élargi sa colonne, l’auteur décide de
clore le sujet.

Le scandale se produisit à nouveau en Hollande pour le même motif, en 1995,
dans le journal NRC Handelsblad. Pourtant il est certain que Vos Savant avait raison
et que tous ceux qui lui avaient écrit, mathématiciens ou non, se trompaient.

Le schéma ci-dessous illustre la question originale (les portes avec le
gros lot derrière l’une d’entre elles et des lots de consolation derrière les autres). Si
le finaliste garde son premier choix, il est évident que la probabilité est 1/3 (il y
avait trois portes et l’on en choisit une), alors que s’il change, elle double
pour passer
à 2/3.

On peut aussi faire l’expérience en prenant, par exemple, trois cartons, avec une
voiture derrière l’un d’eux. Les cartons posés, on en choisit un, puis on change
son choix. Pour avoir un nombre suffisant d’essais, vous pouvez le faire avec vos
amis en vacances ou pendant une soirée et vous verrez que les résultats confirment
ces probabilités. Vous pouvez aussi faire une simulation par ordinateur, si vous leur
faites suffisamment confiance, ou sur différents sites Internet (par exemple, sur la
page « Persister ou changer » du site de l’université fédérale de l’Utah).

Il est surprenant que cette résistance n’ait pas été le seul fait de mathématiciens
lambda, mais que l’un des plus grands mathématiciens du XXe siècle, le Hongrois
Paul Erdős, convienne également que cette solution était fausse et qu’il n’accepte
son erreur qu’après l’avoir prouvée par une simulation par ordinateur (comme
celle suggérée ci-dessus).

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