Tomemos dos polígonos regulares de los más sencillos, un triángulo equilátero y un cuadrado, y supongamos que tengan la misma área.

La respuesta a esta pregunta (no muy difícil, por cierto) es afirmativa [1]. Por ejemplo, se puede pasar del triángulo al cuadrado cortándolo en cinco piezas, como se muestra a continuación.

Sin embargo, existe un método magnífico para pasar del triángulo equilátero al cuadrado... ¡que usa solo cuatro piezas ! De hecho, este método permite transformar dicho triángulo en cualquier rectángulo de una vasta familia. Para hacerte una idea, comienza observando esta animación :

Un poco de historia

El problema de transformar un triángulo equilátero en un cuadrado por corte y rensamble fue propuesto por Henry Dudeney en 1902 en su famosa columna de problemas matemáticos ’’Puzzles and Prizes’’ del periódico Weekly Dispatch en Inglaterra. Una solución (que, al parecer, era conocida por Dudeney [2]) fue propuesta por C. W. McElroy. Más abajo desarrollamos los cálculos de la construcción subyacente. Como veremos, estos cálculos no son lo que uno podría denominar ’’triviales’’. Además, no son fáciles de encontrar en la literatura.

Antes de proceder, y para darte un poco de fuerza, observa esta aplicación ’’práctica’’ de la transformación de triángulos en cuadrados : ¡es posible sentarse de a tres o de a cuatro en una misma mesa ! (sin dejar espacio libre...)

Baltasar posando feliz junto a su mesa al fin terminada.

Los cálculos

La animación de arriba sugiere que la parte inferior izquierda del triángulo gira (por una rotación de 180º centrada en el punto medio del lado correspondiente) hacia la parte izquierda del cuadrado, y que algo análogo sucede a derecha (girando en el sentido contrario). Además, la parte central inferior del triángulo se identifica a la parte superior del cuadrado.

Los dibujos, sin embargo, pueden inducir a errores. Además, nos gustaría calcular las longitudes precisas de las piezas (¡de modo de poder fabricar una mesa perfecta !). En la ilustración de la izquierda abajo incluimos entonces algo de esta información geométrica. Observa que $E$ debe ser el punto medio del lado $PQ$ del cuadrado, mientras que $D$ debe ser el punto medio de $RS$. Observa también que los ángulos en $Q$ y $R$ son rectos, pues tras una rotación se corresponden con ángulos del cuadrado. Además, $\, \overline{AU} = \overline{HC} \,$ y $\, \overline{VB} = \overline{CI}, \,$ y como $\, \overline{HI} = \overline{UV}, \,$ la longitud de $UV$ debe ser la mitad de la del lado del triángulo. En lo que sigue, supondremos que la longitud del lado del triángulo es igual a 1. Toda esta información aparece desplegada en la figura de la derecha a continuación.

He aquí una observación muy importante : por cada valor de $x$ menor o igual a $1/2$, las rotaciones descritas anteriormente llevan a un cuadrilátero de ángulos rectos, es decir, a un rectángulo. Nuestro problema consiste entonces en calcular el valor de $x$ para el cual este rectángulo es un cuadrado. Si bien se trata de un cálculo elemental, no es en absoluto trivial. Trata de hacerlo por tu cuenta antes de revisarlo abajo : debieras llegar a
\[x = \frac{3-\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{4} \sim 0,2545...\]

El cálculo de $x$.

Si el rectángulo es un cuadrado, entonces $\triangle UVR$ y $\triangle DEQ$ son congruentes, pues tienen los mismos ángulos (¿por qué ?) y $\overline{UV} = \overline{DE} = 1/2$. Por lo tanto, si denotamos $u = \overline{UQ} = \overline{RD} = \overline{DS}$ y $\upsilon = \overline{PE} = \overline{EQ} = \overline{RV}$, entonces la condición $\overline{PQ} = \overline{QS}$ (la cual es necesaria para obtener un cuadrado) se transforma en $\overline{QR} = 2\upsilon - 2u$, tal como se ilustra más abajo. Además, dado que el área del triángulo es igual a $\sqrt{3} / 4$ y que esta es igual al área del cuadrado, la longitud del lado del cuadrado debe ser $\sqrt{\sqrt{3}/4} = \sqrt[4]{3} / 2$, y por tanto $\upsilon = \sqrt[4]{3} / 4$.

Si aplicamos el teorema de Pitágoras a $\triangle URV$ obtenemos
\[\overline{UV}^2 = \overline{UR}^2 + \overline{RV}^2,\]
es decir,
\[\frac{1}{4} = (2\upsilon -u)^2 + \upsilon^2 = 5\upsilon^2 - 4u\upsilon + u^2 = u^2 - u \sqrt[4]{3} + \frac{5 \sqrt{3}}{16}.\]
Esto nos da una ecuación cuadrática en $u$, la cual tiene dos soluciones. La que debemos considerar es
\[u = \frac{1}{2} \left( \sqrt[4]{3} - \sqrt{ \sqrt{3} - 4 \left( \frac{5 \sqrt{3}}{16} - \frac{1}{4} \right) } \right) = \frac{1}{2} \left( \sqrt[4]{3} - \sqrt{ 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} } \right). \]
En efecto, la otra solución es mayor que $\sqrt[4]{3} / 2$, lo cual es absurdo pues el lado del cuadrado debe ser a la vez igual a $\sqrt{3} / 4$ y mayor que $u^2$.

Denotando $\ell = \overline{EU}$, el teorema del coseno aplicado a $\triangle AUE$ y el teorema de Pitágoras aplicado a $\triangle EQU$ nos dan
\[ x^2 + \frac{1}{4} - 2\, x \frac{1}{2} \cos (60º)\,\, = \,\, \ell^2\,\, =\,\, \upsilon^2 + u^2.\]
Por lo tanto,
\[\begin{eqnarray*} x^2 - \frac{x}{2} + \frac{1}{4} &=& \frac{\sqrt{3}}{16} + u^2 \\ &=& \frac{\sqrt{3}}{16} + \frac{1}{4} \left( \sqrt{3} + \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) - 2 \sqrt{ \sqrt{3} \left( 1 - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) } \right) \\ &=& \frac{1}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} \sqrt{ 4 \sqrt{3} - 3}. \end{eqnarray*}\]
En consecuencia,
\[x^2 - \frac{x}{2} - \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} \sqrt{ 4 \sqrt{3} - 3} \right) = 0.\]
Nuevamente, se trata de una ecuación cuadrática que lleva a dos soluciones. Aquella que nos concierne es la mayor a $1/4$ (de modo que $\overline{AU} > \overline{VB}$), es decir,
\[\begin{eqnarray*} x &=& \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} + \sqrt{ \frac{1}{4} + 4 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{4} \sqrt{ 4 \sqrt{3} - 3} \right) } \right) \\ &=& \frac{1}{4} + \frac{1}{4} \sqrt{ 1 + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{ 4 \sqrt{3} - 3 } } . \end{eqnarray*}\]
Esta última expresión puede ser simplificada al notar que
\[\begin{eqnarray*} \left( 2 - \sqrt{4 \sqrt{3}-3} \right)^2 &=& 4 + (4\sqrt{3}-3) - 4 \sqrt{4 \sqrt{3}-3}\\ &=& 1 + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{4 \sqrt{3}-3}. \end{eqnarray*}\]
En efecto, como $\,2 - \sqrt{4\sqrt{3}-3} \sim 0,018... > 0,\,$ esto implica que
\[2 - \sqrt{4 \sqrt{3}-3} = \sqrt{1 + 4 \sqrt{3} - 4 \sqrt{4 \sqrt{3}-3}},\]
y por tanto
\[x = \frac{1}{4} + \frac{2-\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{4} = \frac{3-\sqrt{4\sqrt{3}-3}}{4} \sim 0,2545...\]

Disponemos (¡al fin !) de todas las medidas involucradas en la descomposición de Dudeney. ¡Ahora puedes entretenerte fabricando tu propia mesa triangular-cuadrada !

Nachito y sus módulos de Dudeney para una tarea del liceo.

Un consejo : intenta primero hacer una versión en miniatura ; en este video se muestra uno con bisagras [3].

Los módulos de Dudeney en una feria de matemáticas en un liceo de Quilpué.