Nous nous intéressons à l’article de Nils Berglund
« La probabilité d’extinction d’une espèce menacée » publié sur IdM en février 2013.

Les modèles d’évolution de populations ont une longue histoire. Ici, il sera question d’un modèle probabiliste, introduit en 1874 par Francis Galton et Henry William Watson pour décrire l’extinction des noms de famille. Supposons, pour donner un exemple concret, que chaque individu a au cours de sa vie :

• aucun enfant avec une probabilité $\frac 18$
• un enfant avec une probabilité $\frac 38$
• deux enfants avec une probabilité $\frac 38$
• trois enfants avec probabilité $\frac 18$.
  Les nombres d’enfants d’individus différents sont de plus supposés indépendants les uns des autres.

Voici un exemple d’arbre généalogique obtenu par ce procédé :

L’ancêtre, en haut de l’arbre, a un enfant, qui en a lui-même deux, et ainsi de suite. Nous allons calculer la probabilité que la descendance de cet unique ancêtre s’éteigne.

Première partie : calculs de probabilités

Partons d’un seul individu. Nous étudions la population de ses descendants. La probabilité que la population s’éteigne à la première génération (ses enfants) est $q_1=\frac 18$ : il n’a pas d’enfant.

1. Cherchons d’abord la probabilité que la population soit éteinte à la deuxième génération (il n’a pas d’enfant, ou il a des enfants mais aucun petit-enfant).
   1. S’il a 2 enfants, quelle est la probabilité qu’il n’ait aucun petit-enfant ? Et s’il en a 3 ?
   2. Calculer alors la probabilité que la population soit éteinte à la deuxième génération.
2. Soit $q_n$ la probabilité pour que la descendance d’un individu soit éteinte au bout de $n$ générations. Exprimer en fonction de $q_n$ la probabilité $q_{n+1}$ que la descendance d’un individu soit éteinte au bout de $n+1$ générations. Pour calculer $q_{n+1}$ , on remarquera que la descendance d’un individu est éteinte au bout de $n+1$ générations s’il n’a pas d’enfant ou si les descendances de ses enfants sont toutes éteintes au bout de $n$ générations.

Deuxième partie : Étude de la suite $(q_n)$

1. Soit $f$ la fonction définie sur l’intervalle $[0; 1]$, telle que :
   $q_{n+1}=f(q_n)$.
   On aura montré en 2) que $f(x)=\frac 13 x^3+\frac 38 x^2+\frac 38 x+\frac 18$.
   1. Étudier les variations de $f$ sur l’intervalle $[0; 1]$.
   2. Pour comparer $q_n$ et $q_{n+1}=f(q_n )$, on va étudier le signe de la fonction $g$ définie sur l’intervalle $[0; 1]$ par : $g(x)=f(x)-x$.
      On remarque que $g$ s’annule en 1 et que ce polynôme se factorise donc par $(x-1)$ : trouver $a,b,c$ tels que $g(x)=(x-1)(ax^2+bx+c)$.
      En déduire le signe de $g(x)$ sur l’intervalle $[0; 1]$.
2. Étudions à présent la suite $(q_n)$.
   1. À l’aide du graphique ci-joint, représenter les premiers termes de la suite $(q_n)$. Que peut-on prédire sur son comportement ?
   2. Démontrons les conjectures établies d’après le graphique :
      Prouver par récurrence que pour tout $n$ : $0\leq q_n\leq \sqrt 5-2$.
      Prouver que la suite $(q_n)$ est croissante.
   3. Prouver que la suite (q_n) est convergente. Trouver sa limite en utilisant la définition : $q_{n+1}=f(q_n)$.

Conclusion : on a ainsi prouvé que la probabilité d’extinction de cette descendance d’un unique ancêtre est égale à $\sqrt 5-2$ soit environ 26,3%.

Représentation graphique de la fonction $f$ et de la fonction $x\mapsto x$ sur $[0; 1]$.