Liberté et formalisme : 1+2+3+4+5+... = ?

Le 17 février 2014  - Ecrit par  Jérôme Buzzi Voir les commentaires (3)

Un article du New York Times signale une vidéo parlant (en anglais) de mathématiques. Cette vidéo a été vue plus d’un million et demi de fois car elle scandalise . Que dis-je ? Elle révolte une bonne partie des milliers d’internautes qui l’ont commentée. La vidéo présente un calcul d’Euler (probablement un des plus grands mathématiciens de l’histoire) selon lequel la série des entiers positifs $1+2+3+4+5+6+\dots$ vaut $-1/12$.

Quel sens cela peut-il avoir, s’indigne plus d’un internaute qui veut comprendre. Une majorité écrit que la somme $1+2+3+\dots$ devrait être infinie . En effet, les sommes des premiers termes (ou sommes partielles ) sont successivement : $1,3,6,10,15,21,28,\dots$ Elles dépassent tout nombre donné - elles ne convergent vers aucun nombre. Comment Euler peut-il affirmer que la somme vaut -1/12 ?

Euler est conscient de ceci mais il a toute autre chose en tête [1], quelque chose de très sensé, mais qui ne deviendra précis qu’un siècle plus tard. Depuis Newton on a compris que « certaines fonctions » peuvent se représenter comme des « polynômes infinis ». Euler a vérifié que « dans bien des cas », on peut « faire comme si » toute expression de ce type représentait une fonction.

Un exemple

Par exemple,

$1/(1+x)$ correspond à $1-x+x^2-x^3+x^4-\cdots$.

Si on remplace $x$ par $1/10$, la série devient :

$1-1/10+1/100-1/1.000+1/10.000-\cdots$

dont les premières sommes partielles sont :

$1-1/10=9/10 = \bf{0,9} $ ,

$1-1/10+1/100=91/100=$ $\quad$ 0,91 ;

$1-1/10+1/100-1/1.000=909/1.000=$ $\qquad$ 0,909 ;

$1-1/10+1/100-1/1.000+1/10.000=$ $\qquad$ 0,9091 .

On peut montrer ces valeurs convergent vers 0,90909090... Cette valeur, appelée la somme de la série, est précisément celle de $1/(1+1/10)$. Dans ce premier cas, c’est la même chose de trouver la somme de la série ou d’évaluer la fonction.

Maintenant remplaçons $x$ par $10$ :

$1-10+100-1.000+10.000-100.000+1.000.000-\cdots$

Cette fois-ci, les sommes partielles loin de converger deviennent de plus en plus grandes :

$1-10=$ $\quad$ -9 ;

$1-10+100=$ $\quad$ 91 ;

$1-10+100-1.000=$ $\quad$ -909 ;

$1-10+100-1.000+10.000=$ $\qquad$ 9.091 ;

$1-10+100-1.000+10.000-100.000=$ $\qquad$ -90.909 .
 [2]

Ces sommes partielles ne convergent pas. La série n’a donc pas de somme au sens précédent.

Mais que se passe-t-il du côté de la fonction $1/(1+x)$ ? Calculons-là avec Euler en remplaçant $x$ par $10$ (ce qui, dans le cas $x=1/10$, re-donnait la limite des sommes partielles). On obtient $1/(1+10) =$ 1/11 . On est donc tenté d’écrire avec Euler :
\[ 1-10+100-1.000+10.000-100.000+... = 1/(1+10) = 1/11 \]
Comment résoudre ce paradoxe ? La série a-t-elle une valeur ($1/11$) ou non ?

Ce que les mathématiciens ont compris, en particulier au cours du XIXe siècle, c’est qu’ une écriture n’a pas de sens en soi et que l’intuition est un guide aussi nécessaire qu’insuffisant. Le chercheur doit choisir une définition formelle pour pouvoir étudier rigoureusement le phénomène qui l’intéresse. Ce choix peut être ou non fécond et adapté, mais la définition lui fournit dans tous les cas une base objective pour la suite de ses travaux. Le formalisme, c’est la liberté.

Ainsi, les séries et « polynômes infinis » découverts par Newton et explorés par Euler peuvent s’interpréter comme des objets mathématiques variés (pures suites de nombres, fonctions analytiques ou d’un type plus général, modes de divergence à l’infini,...). Il n’y a plus là aucun scandale. Bien au contraire, les travaux les plus intéressants portent souvent sur les liens entre ces objets [3]. La vidéo mentionnée au début de ce billet évoque exactement une question de ce type en physique théorique.

Faire des mathématiques c’est (aussi) donner des noms différents à une même chose !

Post-scriptum :

Correction le 18 février 2014 : certains termes égaux à 1/10 avaient malencontreusement été transformés en « 10 » ! J’ai par ailleurs ajouté des espaces.
Merci à Christine Huyghe et Mai Huong Pham-Sauvageot pour leurs remarques.

Notes

[1On peut lire, en français, l’article d’Euler ici et notamment sa deuxième page.

[2Le lecteur attentif aura remarqué une correspondance avec le cas $x=1/10$ et une certaine forme de « convergence chiffre par chiffre » après séparation des sommes positives et négatives. Mais c’est une autre histoire...

[3Citons, entre autres, Borel ou, de nos jours Écalle ou Ramis.

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Pour citer cet article :

Jérôme Buzzi — «Liberté et formalisme : 1+2+3+4+5+... = ?» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - Extrait de la première page de l’article d’Euler, Mémoires de l’Academie des Sciences de Berlin 17, 1768, pp. 83-106, obtenu sur Euler Archive. Domaine public.

Commentaire sur l'article

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  • Liberté et formalisme : 1+2+3+4+5+... = ?

    le 18 septembre 2017 à 22:52, par Manu

    En fait, les calculs présentés dans ces vidéos peuvent être rendus rigoureux (et sont donc parfaitement justifiés algébriquement). L’incohérence que vous soulevez vient d’une subtile erreur d’interprétation.
    Pour être valides, les calculs n’ont pas besoin de supposer que l’opération « somme » est invariante par décalage pour toutes les suites (vous noterez d’ailleurs que le shift n’est pas utilisé pour 1+2+3+4+5+6...).

    Par contre, si on suppose que l’opération « somme » est aussi stable pour 1+2+3+4+... là oui effectivement il y a un gros problème.

    Mais si on fait attention, il est assez facile de démontrer qu’il existe bien un système d’axiomes qui permet d’attribuer la valeur -1/12 à 1+2+3+4+5+6... . Après je reconnais que ça n’explique pas tellement pourquoi ce -1/12 serait plus « justifiable » qu’autre chose.

    Répondre à ce message

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