Un défi par semaine

Mai 2014, 1er défi

El 2 mayo 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour chaque couple d’entiers $a$ et $b$, on définit une opération $a\otimes b$ qui vérifie les propriétés suivantes:

$a\otimes a=a+2$

$a\otimes b=b\otimes a$

$\frac{a\otimes (a+b)}{a\otimes b}=\frac{a+b}{b}.$

Déterminer la valeur de $8\otimes 5$.

Solution du 4ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 4.

Nommons trois entiers pairs consécutifs $2n-2$, $2n$, $2n+2$. On a alors,

$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2 = 4n^2-*n+4+4n^2+4n^2+8n+4$

$= 12n^2+8$

$= 4(3n^2+2).$

Donc $4$ divise la somme.
D’autre part, pour voir si 4 est le plus grand diviseur possible,
considérons les triplets $(2, 4, 6)$ et $(4, 6, 8)$.
On a alors

$2^2+4^2+6^2 = 56$

$4^2+6^2+8^2 = 116.$

On remarque que le plus grand diviseur commun de ces deux nombres est $4$.
Par conséquent, le plus grand nombre entier qui divise la somme des
carrés de trois nombres pairs consécutifs quelconques est $4$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2014, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Comentario sobre el artículo

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  • Mai, 1er défi

    le 2 de mayo de 2014 à 13:06, par Daniate

    Suite dont le rapport entre 2 termes consécutifs tend vers le nombre d’or.

    A mon tour de préciser qu’il existe une formule explicite permettant de calculer a⊗b pour tout a et tout b entiers strictement positifs.

    Répondre à ce message

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