Un défi par semaine

Mai 2014, 1er défi

Le 2 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Pour chaque couple d’entiers $a$ et $b$, on définit une opération $a\otimes b$ qui vérifie les propriétés suivantes :

$a\otimes a=a+2$

$a\otimes b=b\otimes a$

$\frac{a\otimes (a+b)}{a\otimes b}=\frac{a+b}{b}.$

Déterminer la valeur de $8\otimes 5$.

Solution du 4ème défi d’Avril

Enoncé

La réponse est 4.

Nommons trois entiers pairs consécutifs $2n-2$, $2n$, $2n+2$. On a alors,

$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2 = 4n^2-*n+4+4n^2+4n^2+8n+4$

$= 12n^2+8$

$= 4(3n^2+2).$

Donc $4$ divise la somme.
D’autre part, pour voir si 4 est le plus grand diviseur possible,
considérons les triplets $(2, 4, 6)$ et $(4, 6, 8)$.
On a alors

$2^2+4^2+6^2 = 56$

$4^2+6^2+8^2 = 116.$

On remarque que le plus grand diviseur commun de ces deux nombres est $4$.
Par conséquent, le plus grand nombre entier qui divise la somme des
carrés de trois nombres pairs consécutifs quelconques est $4$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2014, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Demonstration Formule

    le 7 mai 2014 à 09:50, par Daniate

    Lemme 1 : si b=pa+q alors a⊗b=(a⊗q)*b/q

    Preuve : a⊗b=(a⊗(b-a))b/(b-a)=(a⊗(b-2a)((b-a)/(b-2a))(b/(b-a))=(a⊗(b-2a)b/(b-2a)=...=(a⊗(b-pa))b/(b-pa)=(a⊗q)b/q

    Lemme 2 : si b=pa alors a⊗b=p(a+2)

    Preuve : il suffit de reprendre la ligne précédente en remplaçant p par p-1 et q par a

    Démonstration de la formule :

    Elle s’appuie sur la recherche de pgcd(a,b)

    b=p1*a+q1 ; a=p2*q1+q2 ; q1=p3*q2+q3 ; ... ;q(N-1)=p(N+1)qN

    avec a>q1>q2>...>qN et qN=d=pgcd(a,b)

    D’après le lemme 1 :

    (a⊗b)=(q1⊗a)b/q1=(q2⊗q1)ab/q1q2=(q3⊗q2)abq1/q1q2q3=(q3⊗q2)ab/q2q3= ... =(qN⊗q(N-1))ab/qNq(N-1)

    Or qN=d et q(N-1)=p(N+1)d donc qN*q(N-1)=p(N+1)d² et d’après le lemme 2 : (qN⊗q(N-1))=p(N+1)*(d+2)

    Pour finir (a⊗b)=p(N+1)*(d+2)*ab/(p(N+1)*d²)=ab(d+2)/d²

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