Un défi par semaine

Mai 2015, 1er défi

Le 1er mai 2015  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (8)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2015 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 18 :

Placer les nombres de $1$ à $9$ dans les cercles de sorte que chaque nombre à l’intérieur d’un triangle soit la somme des nombres des trois cercles qui l’entourent.

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Solution du 4ème défi d’Avril :

Enoncé

La réponse est $4\sqrt{3}$ cm.

Traçons les segments $[PA]$, $[PB]$ et $[PC]$, qui divisent le triangle $ABC$ en trois triangles $ABP$, $PBC$ et $PCA$ dont les hauteurs mesurent respectivement $1$ cm, $2$ cm et $3$ cm.

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Soient $a$ la mesure du côté et $h$ la hauteur du triangle équilatéral $ABC$, alors son aire est égale à $\frac{a\times h}{2}$. D’autre part, l’aire du triangle $ABC$ est égale à la somme des aires des triangles $ABP$, $PBC$ et $PCA$, c’est-à-dire :

$\frac{a\times h}{2} = \frac{a\times 1}{2}+\frac{a\times 2}{2}+\frac{a\times 3}{2}$

$a\times h = a+2a+3a$

$h = 6.$

Ainsi, la hauteur du triangle $ABC$ mesure $6$ cm. Comme le triangle $ABC$ est équilatéral, la hauteur divise ce triangle en deux triangles rectangles dont les côtés mesurent $h$ et $\frac{a}{2}$, et dont l’hypoténuse mesure $a$. Alors, en appliquant le théorème de Pythagore, on a :

$(\frac{a}{2})^2 + 6^2 = a^2$

$\frac{a^2}{4} +36 = a^2$

$\frac{3}{4}a^2 = 36$

$a = \sqrt{48} = 4\sqrt 3.$

Par conséquent, le côté du triangle $ABC$ mesure $4\sqrt 3$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2015 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2015, 1er défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Crédits image :

Image à la une - Makarova Viktoria / SHUTTERSTOCK

Commentaire sur l'article

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  • Mai 2015, 1er défi

    le 1er mai 2015 à 07:37, par André Perrenoud

    Le cercle situé à 3 heures contient le nombre 5.

    Répondre à ce message

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