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• Mai 2017, 2e défi

  le 12 de mayo de 2017 à 07:25, par ROUX

  2x=A.A ou puisque A doit alors être divisible par 2 (car A.A doit être divisible par 2 et le carré ne rajoute pas de plus petit diviseur premier, ici, 2 donc c’est que A est divisible par 2) , 2x=2.a.2.a ou x est multiple de 2.
  3x=B.B.B ou puisque B doit être divisible par 3, 3x=3.b.3.b.3.b ou x est multiple de 9.
  Donc x est multiple de 18.
  Mais quel multiple?

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• Mai 2017, 2e défi

  le 12 de mayo de 2017 à 08:15, par ROUX

  x=k.18=k.2.3^2.
  Si 2x est un carré, c’est que, vue l’écriture, 2.(k.2.3^2)=k.36.
  k est donc lui-même un carré d’entier.
  Si 3.x est un cube, c’est que, vue l’écriture, 3.(k.2.3^2)=2^(3n).3^(3m) ou k=2^(3n-1).3^(3m-3).
  Puisque k est un carré, il faut que 3n-1 soit un multiple de 2 et 3m-3 aussi, tout en étant les plus petits possibles.
  Donc n=1 et m=1 conviennent.
  Ils donnent alors k=2^2.3^0 ou k=4 ou x=72.
  La suite est alors, dans l’ordre, pour les différents quadruplets (n,m,k,x): (1,1,4,72); (3,1,256,4608);(1,3,2916,52488); etc.
  x=72.

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• Mai 2017, 2e défi

  le 12 de mayo de 2017 à 11:10, par Daniate

  En toute rigueur le plus petit entier positif étant 0, il répond parfaitement au problème posé, mais un strictement positif était certainement attendu.

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• Mai 2017, 2e défi

  le 12 de mayo de 2017 à 11:45, par ROUX

  Bonjour, fidèle à vous-même :-))))))!

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• Mai 2017, 2e défi

  le 13 de mayo de 2017 à 11:03, par drai.david

  Bonjour, je suis nouveau sur ce forum que je suis depuis quelques mois maintenant, et je trouve que les défis du calendrier des maths se prêtent souvent bien à des généralisations intéressantes. En voici deux :
  1) Les entiers x vérifiant la propriété sont tout simplement ceux de la forme 72n⁶...
  2)Si on ajoute la condition «5x est une puissance 5^ème», les nombres solution sont de la forme 2¹⁵3²⁰5²⁴n⁵.
  Et 2¹⁵3²⁰5²⁴ = 6 810 125 783 203 125*10¹⁵.

  Remarque : La condition «4x est une puissance 4^ème» est incompatible avec «2x est un carré»...

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• Mai 2017, 2e défi

  le 13 de mayo de 2017 à 15:41, par ROUX

  Mais tout à fait :-).
  Le commentateur Daniate que je saluais nous en a offertes de merveilleuses (je me souviens du découpage d’un aileron de requin ( et je viens de le retrouver ) en deux parties de surfaces égales qu’il généralisa au découpage en n parties de surfaces égales et dont cette généralisation finit dans la solution proposée par l’autrice des défis).
  Certains défis se prêtent aussi à d’éblouissants contre-pieds: un défi arithmétique peut aussi être résolu avec de la géométrie, etc.; là encore, Daniate excelle, vous verrez ;-)!
  Bienvenu-e!

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• Mai 2017, 2e défi

  le 13 de mayo de 2017 à 15:42, par ROUX

  Il faut cliquer sur ( et je viens de le retrouver ).

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• Mai 2017, 2e défi

  le 23 de noviembre de 2019 à 20:59, par ROUX

  Cher Daniate,
  allez-vous bien?
  Je ne vous cache plus mon inquiétude...
  Cordialement,

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• Mai 2017, 2e défi

  le 14 de mayo de 2017 à 09:12, par LALANNE

  Si x est l’inconnue, a et b entiers positifs de même que c, d, e, f, g et i
  2x=a^2 et 3x=b^3 d’où a multiple de 2 et b multiple de 3, a=2c et b=3e
  x=2c^2=9e^2 d’où c multiple de 3 et e multiple de 2, c=3f et e=2g
  x=2(3f)^2 =9(2g)^3
  x=18 f^2=72 g^3
  f^2=4g^3=4 (g√g)^2 = 4 ( i^3)^2 en posant i^2=g
  Donc:
  x=72 i^6
  Les valeurs de x s’obtiennent pour i entier positif, i=1 correspondant à la plus petite donne x=72

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• Mai 2017, 2e défi

  le 13 de mayo de 2017 à 16:16, par drai.david

  1^ère coquille : ça commence bien !!!
  Dans ma 2^ème généralisation (avec 5x comme puissance 5^ème) il faut lire 2¹⁵3²⁰5²⁴n³⁰ !

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