Un défi par semaine

Mai 2017, 2e défi

El 12 mayo 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 19 :

Déterminer le plus petit entier positif $x$ tel que $2x$ soit un carré et $3x$ soit un cube.

Solution du 1er défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $145$.

Comme le nombre de Zoé a deux chiffres, le nombre maximal que peut obtenir Ysabel est $9^2+9^2=162$, par conséquent il a $1$, $2$ ou $3$ chiffres.

  • Si le nombre d’Ysabel n’a qu’un chiffre, alors il est au plus $9$, et le nombre de Xavier est donc au plus $9^2=81$. D’autre part, ce résultat est possible, si par exemple Zoé a choisi $30$.
  • Si le nombre d’Ysabel a deux chiffres, il est au plus $99$. Mais $99$ n’est pas la somme de deux carrés parfaits, donc le nombre d’Ysabel est en fait au plus $98=7^2+7^2$. Ce dernier peut bien être obtenu si Zoé a choisi $77$. Dans ce cas, le nombre de Xavier est $9^2+8^2= 145$, et c’est le maximum qu’il puisse obtenir à partir d’un nombre à deux chiffres.
  • Si le nombre d’Ysabel a trois chiffres, alors le premier chiffre est un $1$, et le nombre est au plus $162$. Dans ce cas, le nombre dont la somme des carrés des chiffres est maximale est $159$ pour lequel cette somme vaut $1^2+5^2+9^2=107$, qui est inférieur à $145$.

Le meilleur cas est le deuxième, et le nombre maximal que peut obtenir Xavier est donc $145$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

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  • Mai 2017, 2e défi

    le 13 de mayo de 2017 à 15:41, par ROUX

    Mais tout à fait :-).
    Le commentateur Daniate que je saluais nous en a offertes de merveilleuses (je me souviens du découpage d’un aileron de requin ( et je viens de le retrouver ) en deux parties de surfaces égales qu’il généralisa au découpage en n parties de surfaces égales et dont cette généralisation finit dans la solution proposée par l’autrice des défis).
    Certains défis se prêtent aussi à d’éblouissants contre-pieds: un défi arithmétique peut aussi être résolu avec de la géométrie, etc.; là encore, Daniate excelle, vous verrez ;-)!
    Bienvenu-e!

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