Enoncé

La réponse est $x=72$.

Notons $x=2^a3^bm$ avec $m$ entier premier avec $2$ et $3$. Comme $2x=2^{a+1}3^bm$ est un carré, les entiers $a+1$ et $b$ sont pairs et $m$ est un carré. Comme $3x=2^{a}3^{b+1}m$ est un cube, les entiers $a$ et $b+1$ sont multiples de $3$ et $m$ est un cube. Le plus petit entier positif $a$ qui est multiple de $3$ et tel que $a+1$ est pair est le nombre $3$.
De même le plus petit $b$ qui est pair est tel que $b+1$ est multiple de $3$ est le nombre $2$. Enfin le plus petit $m$ qui soit à la fois un carré et un cube est le nombre $1$. Par conséquent, la valeur minimale de $x$ est $2^3\times 3^2\times 1=72$.