Mai 2017, 3e défi

Le 19 mai 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (10)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

On utilise $125$ petits cubes pour former un gros cube de taille $5\times 5\times 5$. Les petits cubes de l’extérieur sont peints alternativement en noir et blanc, de sorte que les cubes des coins soient tous noirs. Quelle est la différence entre le nombre de cubes ayant des faces noires et le nombre de cubes ayant des faces blanches ?

Solution du 2e défi de Mai :

Enoncé

La réponse est $x=72$.

Notons $x=2^a3^bm$ avec $m$ entier premier avec $2$ et $3$. Comme $2x=2^{a+1}3^bm$ est un carré, les entiers $a+1$ et $b$ sont pairs et $m$ est un carré. Comme $3x=2^{a}3^{b+1}m$ est un cube, les entiers $a$ et $b+1$ sont multiples de $3$ et $m$ est un cube. Le plus petit entier positif $a$ qui est multiple de $3$ et tel que $a+1$ est pair est le nombre $3$.
De même le plus petit $b$ qui est pair est tel que $b+1$ est multiple de $3$ est le nombre $2$. Enfin le plus petit $m$ qui soit à la fois un carré et un cube est le nombre $1$. Par conséquent, la valeur minimale de $x$ est $2^3\times 3^2\times 1=72$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

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Mai 2017, 3e défi

le 19 mai 2017 à 12:08, par Bernard Hanquez

Considérons les 5 tranches du cube.
La tranche supérieure comporte 25 cubes (tous extérieurs) dont 13 noirs et 12 blancs.
Les 3 tranches intermédiaires comportent chacune 16 cubes extérieurs dont 8 noirs et 8 blancs.
La tranche inférieure comporte 25 cubes (tous extérieurs) dont 13 noirs et 12 blancs.

Il y a donc au total 50 cubes noirs et 48 cubes blancs.
La différence est par conséquent égale à 2.
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