Un défi par semaine

Mai 2014, 3ème défi

El 16 mayo 2014  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (15)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

Le nombre $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ a la propriété que son inverse est égal à sa partie décimale, ce qui se traduit par
$\frac{1}{N}=0{,}618033989\ldots$. Trouver un autre nombre ayant cette propriété.

Solution du 2ème défi de Mai

Enoncé

La réponse est $21\sqrt{2}$ cm.

Comme $FB=FE$, on conclut que les angles $\widehat{EBF}$ et $\widehat{FEB}$ sont égaux. De façon analogue, l’égalité $AE=AB$ implique $\widehat{BEA}=\widehat{ABE}$, et donc $\widehat{ABF}=\widehat{ABE}+\widehat{EBF}=\widehat{BEA}+\widehat{FEB}=\widehat{FEA}$.

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Comme $\widehat{ABF}=90^\circ$, on a $\widehat{FEA}=90^\circ$. De plus, vu l’égalité $EC=CF$, on obtient $\widehat{CEF}=45^{\circ}$ et par conséquent

$\widehat{AED}=180^{\circ}-\widehat{FEA}-\widehat{CEF}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},$

et le triangle $AED$ est isocèle. Par conséquent on a $ED=AD=21\,cm$. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ADE$, on obtient $AE^2=AD^2+ED^2=2AD^2=2(21)^2$, d’où $AE=21\sqrt{2}\,cm$. Par conséquent, $AB=AE=21\sqrt{2}\,cm$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mai 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Comentario sobre el artículo

  • Mai, 3ème défi

    le 16 de mayo de 2014 à 10:33, par Daniate

    Une infinité de réponses dont la plus petite est 1+√2.

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  • Mai, 3ème défi

    le 16 de mayo de 2014 à 14:22, par Kamakor

    oui, les nombres qui vérifient cette propriété s’écrivent sous la forme ( n+√(n^2+4) ) / 2, avec n∈N

    Répondre à ce message
  • Mai, 3ème défi

    le 16 de mayo de 2014 à 18:27, par Daniate

    Avec, tout de même, n différent de 0.

    Répondre à ce message
    • Mai, 3ème défi

      le 21 de mayo de 2014 à 10:32, par ROUX

      Pourriez-vous nous faire parvenir votre réponse géométrique au défi précédent? Je vous remercie par avance.

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  • Mai, 3ème défi

    le 21 de mayo de 2014 à 09:18, par ROUX

    Donc, j’écris que N = truc,bidule et 1/N = 0,bidule.
    N - 1/N = truc et truc est un entier.

    Je mets au même dénominateur, qui est N et qui est différent de 0, et j’ai alors: N^2 - 1 = truc.N ou encore N^2 - truc.N -1 = 0.

    Une bonne vieille équation du second degré qui me donne comme solution: N = (truc + (truc^2 + 4)^(1/2))/2.

    Et c’est vrai que pour truc = 1, cela ne marche pas pourtant, la mise en équation ne l’empêche pas...

    Ah mais oui mais 1/N ne peut pas être égale à zéro donc on doit s’interdire tous les nombres dont la partie décimale est nulle et donc forcément, comme avec truc = 0 on a N = 1,0000...

    Mais alors, où a-t-on démontré que aucun des nombres de la forme générale précédente n’a une partie décimale nulle?

    Il faudrait au moins que (truc^2 +4)^(1/2) soit un entier et que donc (truc^2 + 4) soit égal au carré d’un entier. Ou que la différence de deux carrés d’entiers soit égale à 4. Hum, je prends deux entiers successifs truc et (truc+1) qui me garantissent la plus petite valeur pour la différence de leurs carrés et cette différence est égale à 2.truc+1 qui est impaire et qui ne sera jamais égale à 4.

    D’accord!

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    • Mai, 3ème défi

      le 22 de mayo de 2014 à 10:08, par Daniate

      Bonjour, comme toujours vos variations mathématiques sont réjouissantes.

      Des arguments plus rationnels sont possibles pour démontrer que les nombres (truc^2+4) ne sont pas entiers, mais je complète votre raisonnement. Pour obtenir une valeur paire on peut prendre truc et truc+2 mais alors la différence des carrés est 4truc+4 et comme truc n’est pas égal à 0 la différence ne peut être égale à 4.

      Pour la démonstration géométrique du défi précédent elle a été donnée par 2 d’entre nous dans les messages du défi précédent.

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      • Mai, 3ème défi

        le 22 de mayo de 2014 à 19:02, par ROUX

        Merci!

        De mon côté, je me précipite toujours sur vos solutions, dont l’une était éblouissante, et montrait bien votre amour de la géométrie.

        Encore merci pour toutes (vos démonstrations)!

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  • Mai, 3ème défi

    le 21 de mayo de 2014 à 15:59, par grafton

    Si on prend un rectangle ABDC avec AB=N (entier) et AC=1, et si on appelle 0 et 0’ les milieux respectivement des côtés AB et CD, alors la diagonale 0’B du rectangle OBDO’ a pour longueur L=(RACINE(N*N/4+1).

    Le cercle de centre 0’ et de rayon L coupe le côté CD en un point M. Le segment CM a pour longueur X= N/2+ L.

    Le segment DM a alors pour longueur Y= X-N. Il est facile de vérifier par le calcul que Y=1/X. Nous avons donc X-1/X=N

    N étant un nombre entier, X et 1/X ont donc les mêmes parties décimales, et cela quel que soit l’entier N choisi.

    Répondre à ce message
    • Mai, 3ème défi

      le 22 de mayo de 2014 à 07:35, par ROUX

      Pourriez-vous parachever cette démonstration géométrique par la démonstration géométrique de votre affirmation suivante: Y = 1/X dont je ne réussis pas à trouver la démonstration géométrique?

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      • Mai, 3ème défi

        le 22 de mayo de 2014 à 11:06, par grafton

        Je n’ai malheureusement pas de démonstration géométrique pure.

        Par construction, nous avons O’M= L et on pose CM= N/2+L=X. De même, toujours par construction, DM= L-N/2.

        1/X= 1/(N/2+L). En multipliant haut et bas par (L-N/2) on obtient

        1/X= (L-N/2), (qui se trouve être la longueur de DM).

        et on constate que X-1/X=N.

        Le seul intérêt de cette méthode est de donner une «visualisation» de X et de 1/X.

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        • Mai, 3ème défi

          le 22 de mayo de 2014 à 12:40, par Daniate

          Seul intérêt peut être, mais capital. C’est pourquoi je me suis permis d’approfondir votre recherche. Sur une droite je porte A et B tels que AB=n (naturel non-nul). Je trace une parallèle d a (AB) à une distance de 1 (comme votre rectangle). La médiatrice de [AB] coupe d en O. Sur le cercle de centre O et de rayon OA je marque C le point diamétralement opposé à B et E le point d’intersection le plus proche de A entre d et le cercle. F est le point d’intersection entre (AB) et (CE) et H est le projeté orthogonal de E sur (AB).

          Le triangle FEB est rectangle en E et le tiangle FEA est isocéle en E. Si on pose HB=N, une relation métrique du triangle rectangle permet de démontrer HE=1/N et comme HE=HA et HB-HA=AB on trouve bien N-1/N=n

          Cette construction contient la figure que vous avez faite mais permet de justifier sans calculs

          La relation métrique utilisée dit que dans tout triangle ABC rectangle en A et de hauteur AH on a HB.HC=HA²

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          • Mai, 3ème défi

            le 22 de mayo de 2014 à 16:24, par grafton

            Pour ma part, je trouve cette démonstration très élégante car elle repose sur de bonnes vieilles constructions à «la règle et au compas» et des raisonnements de bonne géométrie classique. Amusant de transformer un problème de nombres en des raisonnements d’angles et de métrique du triangle rectangle.

            (une petite erreur de frappe facile à voir pour le lecteur: HF= 1/N et HF=HA...si j’ai bien compris la figure!)

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            • Mai, 3ème défi

              le 22 de mayo de 2014 à 18:24, par ROUX

              J’adore cela, effectivement.

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              • Mai, 3ème défi

                le 22 de mayo de 2014 à 23:29, par Daniate

                Et merci surtout d’avoir songé à représenter visuellement un résultat numérique , peut être aussi de n’avoir pas noté ma faute orthographique «la figure que vous avez fait» (sans e)

                Répondre à ce message
            • Mai, 3ème défi

              le 22 de mayo de 2014 à 23:21, par Daniate

              Merci pour la relecture et pour la correction.

              Répondre à ce message

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