Un défi par semaine
Mai 2014, 3ème défi
El 16 mayo 2014 Ver los comentarios (15)Leer el artículo en
Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.
Semaine 20 :
Le nombre $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ a la propriété que son inverse est égal à sa partie décimale, ce qui se traduit par
$\frac{1}{N}=0{,}618033989\ldots$. Trouver un autre nombre ayant cette propriété.
Solution du 2ème défi de Mai
La réponse est $21\sqrt{2}$ cm.
Comme $FB=FE$, on conclut que les angles $\widehat{EBF}$ et $\widehat{FEB}$ sont égaux. De façon analogue, l’égalité $AE=AB$ implique $\widehat{BEA}=\widehat{ABE}$, et donc $\widehat{ABF}=\widehat{ABE}+\widehat{EBF}=\widehat{BEA}+\widehat{FEB}=\widehat{FEA}$.
Comme $\widehat{ABF}=90^\circ$, on a $\widehat{FEA}=90^\circ$. De plus, vu l’égalité $EC=CF$, on obtient $\widehat{CEF}=45^{\circ}$ et par conséquent
$\widehat{AED}=180^{\circ}-\widehat{FEA}-\widehat{CEF}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},$
et le triangle $AED$ est isocèle. Par conséquent on a $ED=AD=21\,cm$. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ADE$, on obtient $AE^2=AD^2+ED^2=2AD^2=2(21)^2$, d’où $AE=21\sqrt{2}\,cm$. Par conséquent, $AB=AE=21\sqrt{2}\,cm$.
Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.
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Para citar este artículo:
Ana Rechtman — «Mai 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014
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Mai, 3ème défi
le 21 de mayo de 2014 à 09:18, par ROUX