Un défi par semaine

Mai 2014, 3ème défi

Le 16 mai 2014  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (15)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2014 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 20 :

Le nombre $N=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1{,}618033989\ldots$ a la propriété que son inverse est égal à sa partie décimale, ce qui se traduit par
$\frac{1}{N}=0{,}618033989\ldots$. Trouver un autre nombre ayant cette propriété.

Solution du 2ème défi de Mai

Enoncé

La réponse est $21\sqrt{2}$ cm.

Comme $FB=FE$, on conclut que les angles $\widehat{EBF}$ et $\widehat{FEB}$ sont égaux. De façon analogue, l’égalité $AE=AB$ implique $\widehat{BEA}=\widehat{ABE}$, et donc $\widehat{ABF}=\widehat{ABE}+\widehat{EBF}=\widehat{BEA}+\widehat{FEB}=\widehat{FEA}$.

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Comme $\widehat{ABF}=90^\circ$, on a $\widehat{FEA}=90^\circ$. De plus, vu l’égalité $EC=CF$, on obtient $\widehat{CEF}=45^{\circ}$ et par conséquent

$\widehat{AED}=180^{\circ}-\widehat{FEA}-\widehat{CEF}=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ},$

et le triangle $AED$ est isocèle. Par conséquent on a $ED=AD=21\,cm$. En appliquant le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle $ADE$, on obtient $AE^2=AD^2+ED^2=2AD^2=2(21)^2$, d’où $AE=21\sqrt{2}\,cm$. Par conséquent, $AB=AE=21\sqrt{2}\,cm$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2014 - Sous la direction d’Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textes : Étienne Ghys - Illustrations : Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mai 2014, 3ème défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Crédits image :

Image à la une - La sphère cornue d’Alexander, par Jos Leys

Commentaire sur l'article

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  • Mai, 3ème défi

    le 21 mai 2014 à 09:18, par ROUX

    Donc, j’écris que N = truc,bidule et 1/N = 0,bidule.
    N - 1/N = truc et truc est un entier.

    Je mets au même dénominateur, qui est N et qui est différent de 0, et j’ai alors : N^2 - 1 = truc.N ou encore N^2 - truc.N -1 = 0.

    Une bonne vieille équation du second degré qui me donne comme solution : N = (truc + (truc^2 + 4)^(1/2))/2.

    Et c’est vrai que pour truc = 1, cela ne marche pas pourtant, la mise en équation ne l’empêche pas...

    Ah mais oui mais 1/N ne peut pas être égale à zéro donc on doit s’interdire tous les nombres dont la partie décimale est nulle et donc forcément, comme avec truc = 0 on a N = 1,0000...

    Mais alors, où a-t-on démontré que aucun des nombres de la forme générale précédente n’a une partie décimale nulle ?

    Il faudrait au moins que (truc^2 +4)^(1/2) soit un entier et que donc (truc^2 + 4) soit égal au carré d’un entier. Ou que la différence de deux carrés d’entiers soit égale à 4. Hum, je prends deux entiers successifs truc et (truc+1) qui me garantissent la plus petite valeur pour la différence de leurs carrés et cette différence est égale à 2.truc+1 qui est impaire et qui ne sera jamais égale à 4.

    D’accord !

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