Commentaire sur l'article

• Mars, 1er défi

  le 7 mars 2014 à 08:25, par Lina

  Il faut avoir a=10c et b=10d+1 avec c²+d=20. Il y a exactement 5 carrés parfaits inférieurs à 20. c=0 ;1 ;2 ;3 ;4 ce qui donne d=20 ;19 ;16 ;11 ;4 et donc 5 solutions

  (0 ;201) ;(10 ;191) ;(20 ;161) ;(30 ;111) ;(40 ;41)

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• Mars, 1er défi

  le 7 mars 2014 à 14:18, par projetmbc

  Voici une solution élémentaire.

  Soient donc a et b deux naturels tels que a^2 + 10b = 2010.

  1) Il est immédiat que 10 | a^2, c’est à dire 10 divise a^2. Donc 2 | a^2 et 5 | a^2, puis 2 | a et 5 | a, ce qui donne : 10 | a. Autrement dit a est un mutliple de 10.

  2) a^2 = 2010 - 10b et b >= 0 impliquent 0 <= a <= 40 puisque sqrt(2010) = 44,8 et en utilisant le point 1.

  Testons les cinq possibilités.

  1) a = 0 implique b = (2010 - 0^2)/10 = 201.

  2) a = 10 implique b = (2010 - 10^2)/10 = 191.

  3) a = 20 implique b = (2010 - 20^2)/10 = 161.

  4) a = 30 implique b = (2010 - 30^2)/10 = 111.

  5) a = 40 implique b = (2010 - 40^2)/10 = 411.

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• Mars, 1er défi

  le 7 mars 2014 à 14:20, par projetmbc

  Mon sqrt(2010) = 44,8 est stupide car nous avons 40^2 = 1600 et 50^2 = 2500 .

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• Mars, 1er défi

  le 12 mars 2014 à 09:43, par projetmbc

  Grosse faute de frappe dans le 5 où le résultat est 41 et non 411 ! Je sais cela fait beaucoup même à une factorielle près. ;-)

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• Mars, 1er défi

  le 8 mars 2014 à 18:08, par ROUX

  « a » au carré plus 10 fois « b » est égal à 2010 ou est égal à 201 fois 10. « a » au carré est donc égal à 201 fois 10 moins 10 fois « b » ou est donc égal à 10 facteur de « (201 - b) ».

  « a » au carré est donc un multiple de 10 : il se termine donc par un beau « 0 ».

  Si « a » est égal à un nombre « c » plus l’un des neuf chiffres non nuls, il ne se termine pas par un beau « 0 ». Donc « a » doit se terminer par un beau « 0 » ce qui signifie qu’il est un multiple de 10 et alors « a » au carré se termine par deux beaux « 0 ».

  « a » au carré est donc égal à 100, 400, 900 et 1600 ou « a » est égal à 10, 20, 30 et 40 et, respectivement, « b » est égal à 191, 161, 111 et 41.

  Les couples (a,b) sont : (10,191) ; (20,161) ; (30 ;111) et (40,41).

  Ah, et, oui, je viens de lire les solutions précédentes : (0,201).

  Le « hint », c’est comme la semaine dernière, la division par 10...

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• Mars, 1er défi

  le 10 mars 2014 à 18:24, par geo7744

  on a : a² + 10b = 2010

  donc : a²/10 + b = 201
  la plus petite valeur possible de b est 0
  a² doit être divisible par 10
  donc a²/10 < 201
  a < sqrt(2010)
  donc a = 10, 20 , 30, 40
  (a,b)= (10,191), (20,161), (30,111),(40,41)

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• Mars, 1er défi

  le 11 mars 2014 à 09:18, par projetmbc

  Bonjour, vouas avez oublié a = 0.

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• Mars, 1er défi

  le 11 mars 2014 à 10:06, par Daniate

  Je viens de lire les différentes méthodes et je voudrais attirer l’attention sur la méthode de lina qui semble plus compliquée mais est-ce bien certain ?

  a=10c est conséquence directe de la divisibilité de a par 10

  Pour obtenir b=10d+1 et c²+d=20 on remplace a par 10c dans l’égalité qu’on simplifie par 10 et on change 10c² de membre

  b=201-10c²=200-10c²+1=10(20-c²)+1 et il suffit alors de poser d=20-c²

  La subtilité est qu’on obtient les couples (a,b) en collant (concaténant) 0 à la fin de c et 1 à la fin de d

  Par exemple pour obtenir la solution (30 ;111) le seul calcul à faire est 20-3²=11 alors que dans les autres méthodes il faut effectuer (2010-30²)/10 pas compliqué mais nettement moins engageant.

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• Mars, 1er défi

  le 12 mars 2014 à 09:42, par projetmbc

  Bonne remarque. Ceci étant quand j’ai répondu je n’avais pas complètement la tête aux calculs de tête : voire mon auto-critique.

  Dans mes calculs, les calculs peuvent se faire moins violemment comme suit.

  1) 201 - 0^2*10 = 201.

  2) 201 - 1^2*10 = 191.

  3) 201 - 2^2*10 = 161.

  4) 201 - 3^2*10 = 111.

  5) 201 - 4^2*10 = 41.

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