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Un défi par semaine

Mars 2016, 2e défi

Le 11 mars 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (5)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 11 :

Dans une ferme, Jean dit à Pierre : « Tu dois tondre $30$ moutons en quinze jours, en en tondant chaque jour un nombre impair. » Pierre peut-il y arriver ?

(Remarque : $0$ n’est pas un nombre impair.)

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est oui.

Divisons la cible en $4$ à l’aide de deux diamètres perpendiculaires. Puisqu’on lance $5$ fléchettes, un des quarts de cercle contient forcément au moins $2$ fléchettes. En utilisant le théorème de Pythagore dans ce quart de cercle, on a

$AB^2 = OA^2 + OB^2$

$ = 25^2\times 2 + 25^2\times 2=25^2\times 2^2.$

Ainsi, $AB= 25\times 2=50$ cm.

Traçons le cercle qui passe par $O$, $A$ et $B$. Puisque $\widehat{AOB}=90^\circ$, le centre du cercle est le milieu de $[AB]$. Le segment $[AB]$ est donc un diamètre du cercle, et la distance entre deux fléchettes quelconques dans ce quart de la cible vaut au maximum $AB=50$ cm.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Mars 2016, 2e défi

le 11 mars 2016 à 07:27, par Al_louarn

C’est impossible car $15$ et $30$ n’ont pas la même parité. En effet la somme de $n$ nombres impairs a toujours la même parité que $n$. Il suffit de grouper les nombres par deux. Chaque paire a une somme paire, donc la somme des paires est encore un nombre pair $p$.
Si $n$ est pair, alors $n=p$ donc $n$ est pair.
Si $n$ est impair, alors il reste un nombre impair isolé $i$, et $n=p+i$, donc $n$ est impair.
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Mars 2016, 2e défi

le 11 mars 2016 à 07:52, par henri

C pas possible car la somme de 15 entiers impairs est impair. Elle ne donnera donc jamais 30.
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Mars 2016, 2e défi

le 11 mars 2016 à 10:21, par Al_louarn

Rectification : soit $s$ la somme des $n$ nombres
Si $n$ est pair alors $s=p$ donc $s$ est paire.
Si $n$ est impair alors il reste un nombre impair isolé $i$, et $s=p+i$ donc $s$ est impaire.
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Mars 2016, 2e défi

le 12 mars 2016 à 02:18, par max6

Soient (2n1 + 1) à (2n15 + 1) les 15 hypothétiques nombres impairs répondant au problème.

On doit donc avoir (2n1 + 1) + ... + (2n15 + 1) = 30 et donc 2 (n1 + ...+ n15) = 15

15 n’étant pas divisible par 2, ceci est impossible.
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Mars 2016, 2e défi

le 13 mars 2016 à 18:39, par Samuel

Il suffit qu’il en tonde 31 en 15 jours. S’il en a tondu 31, alors il en a tondu 30.
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