Un défi par semaine

Mars 2017, 2e défi

Le 10 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Dix personnes sont assises autour d’une table. Chacun pense à un nombre et le dit à ses deux voisins. Puis chacun dit à voix haute la moyenne des nombres de ses deux voisins. Si les nombres de $1$ à $10$, dans cet ordre, ont été annoncés, quel est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $6$ ?

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $1$, $1$, $2$ et $0$.

On sait que dans la dernière boîte, il n’y a pas $1$ boule noire, et comme il y a moins de boules noires que dans la première boîte, on en conclut que dans la dernière boîte, il y a $0$ boule noire et $2$ blanches. Par conséquent, dans la première boîte, deux cas sont possibles : $1$ boule noire et $1$ blanche ou $2$ noires. Comme le nombre écrit sur la boîte est faux, il y a donc $1$ boule noire et $1$ blanche.

Il reste donc $3$ boules noires et $1$ blanche à répartir dans les $2$ boîtes centrales. Une des boîtes centrales doit donc contenir exactement $1$ boule noire. Ce n’est pas la troisième (de gauche à droite) car tous les nombres sont faux. C’est donc la deuxième qui contient exactement une boule noire. Donc les boîtes contiennent $1$, $1$, $2$ et $0$ boules noires.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

Commentaire sur l'article

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  • Mars 2017, 2e défi

    le 10 mars 2017 à 14:05, par Idéophage

    La matrice en jeu est inversible si et seulement si le nombre de personnes n’est pas multiple de 4. La justification est que l’on commence par prendre $(0,\dots,0,1/2,0,1/2,0,\dots,0)$, avec le premier $1/2$ qui correspond à la valeur qu’on veut retrouver. On ajoute ensuite $(-1/2,0,-1/2)$, en faisant coïncider le premier $-1/2$ avec le deuxième $1/2$, puis on ajoute $(1/2,0,1/2)$, et ainsi de suite. Si lorsqu’on revient au départ (le nombre de personnes est divisible par 4), on trouve la combinaison linéaire nulle, alors la matrice n’est pas inversible. Si on trouve 1, alors on a réussi à inverser la matrice. Ici, 10 n’est pas divisible par 4, donc la méthode marche. On trouve $7 - 9 + 1 - 3 + 5 = 1$.

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