Mars 2017, 2e défi

Le 10 mars 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Dix personnes sont assises autour d’une table. Chacun pense à un nombre et le dit à ses deux voisins. Puis chacun dit à voix haute la moyenne des nombres de ses deux voisins. Si les nombres de $1$ à $10$, dans cet ordre, ont été annoncés, quel est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $6$ ?

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $1$, $1$, $2$ et $0$.

On sait que dans la dernière boîte, il n’y a pas $1$ boule noire, et comme il y a moins de boules noires que dans la première boîte, on en conclut que dans la dernière boîte, il y a $0$ boule noire et $2$ blanches. Par conséquent, dans la première boîte, deux cas sont possibles : $1$ boule noire et $1$ blanche ou $2$ noires. Comme le nombre écrit sur la boîte est faux, il y a donc $1$ boule noire et $1$ blanche.

Il reste donc $3$ boules noires et $1$ blanche à répartir dans les $2$ boîtes centrales. Une des boîtes centrales doit donc contenir exactement $1$ boule noire. Ce n’est pas la troisième (de gauche à droite) car tous les nombres sont faux. C’est donc la deuxième qui contient exactement une boule noire. Donc les boîtes contiennent $1$, $1$, $2$ et $0$ boules noires.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Mars 2017, 2e défi

le 12 mars 2017 à 10:50, par ROUX

Je trace un cercle puis je place les 10 nombres de 1 à 10 dans cet ordre dans le sens direct au bout de 10 rayons de ce cercle.
Ensuite, je place à l’intérieur du cercle les 10 lettres de a à j au-dessus de chacun des 10 nombres : ces lettres sont les nombres auxquels les personnes pensent.
La personne qui dit 6 pense f.
f n’intervient que dans les résultats des personnes qui énoncent des résultats impairs : h+f=10 (car 10=5*2) ou f+d=14 (car 14=7*2). Mais, pour une raison chronologique, je ne suis pas parti de l’une des deux…
Je suis parti de j+b=2 (car 2=1*2) qui donne b=j-2.
Ensuite, j’ai traité b+d=18 qui m’a donné avec la relation précédente d=16+j.
J’ai ensuite obtenu f=-2-j puis h=12+j.
La dernière relation a été h+j=6 qui à l’aide de la relation précédente m’a donné j=-3.
Et donc f=1.
La personne qui dit 6 pense 1.
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