Un défi par semaine

Mars 2017, 2e défi

Le 10 mars 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (9)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 10 :

Dix personnes sont assises autour d’une table. Chacun pense à un nombre et le dit à ses deux voisins. Puis chacun dit à voix haute la moyenne des nombres de ses deux voisins. Si les nombres de $1$ à $10$, dans cet ordre, ont été annoncés, quel est le nombre auquel a pensé la personne qui a dit $6$ ?

Solution du 1er défi de Mars :

Enoncé

La réponse est $1$, $1$, $2$ et $0$.

On sait que dans la dernière boîte, il n’y a pas $1$ boule noire, et comme il y a moins de boules noires que dans la première boîte, on en conclut que dans la dernière boîte, il y a $0$ boule noire et $2$ blanches. Par conséquent, dans la première boîte, deux cas sont possibles : $1$ boule noire et $1$ blanche ou $2$ noires. Comme le nombre écrit sur la boîte est faux, il y a donc $1$ boule noire et $1$ blanche.

Il reste donc $3$ boules noires et $1$ blanche à répartir dans les $2$ boîtes centrales. Une des boîtes centrales doit donc contenir exactement $1$ boule noire. Ce n’est pas la troisième (de gauche à droite) car tous les nombres sont faux. C’est donc la deuxième qui contient exactement une boule noire. Donc les boîtes contiennent $1$, $1$, $2$ et $0$ boules noires.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Mars 2017, 2e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

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  • Mars 2017, 2e défi

    le 12 mars 2017 à 12:10, par ROUX

    Dans un premier temps, j’avais comme vous, pensé à des entiers naturels.
    Celui qui avait énoncé 1 avait entendu 0 et 2.
    J’avais ensuite eu à choisir un sens : celui qui avait dit 3 et ayant entendu 0 avait donc aussi entendu 6 ; celui qui avait dit 5 avait entendu aussi 4 ; celui qui avait dit 7 avait donc entendu aussi 10 et, ainsi, celui qui devait dire 9 avait entendu 2 et 10 : contradiction car il ne pouvait annoncer qu’un 9 à la condition unique qu’il le retournât en un splendide 6.
    En prenant un autre sens, j’avais déterminé que celui qui disait 9 et qui avait déjà entendu 0 devait avoir entendu 18 et que donc, celui qui disait 7 devait avoir entendu... -4 pour faire 18-4=14 et annoncer une moyenne à 7.
    Alors, j’ai compris que je pouvais avoir droit aux entiers relatifs et j’ai posé les équations  ;-).
    Je suis quand même profondément un physicien expérimentateur :-).

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