Un défi par semaine

Mars 2017, 5e défi

El 31 marzo 2017  - Escrito por  Ana Rechtman Ver los comentarios (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 13 :

$15$ personnes sont assises autour d’une table ronde. Chaque femme est assise entre un homme et une femme alors que chaque homme est assis entre deux hommes ou entre deux femmes. Sachant qu’il y a au moins une femme autour de la table, combien y a-t-il de femmes?

Solution du 4e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est

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La somme des nombres de $1$ à $8$ est $1+2+3+4+5+6+7+8=\frac{8\times 9}{2}=36$. Considérons $2$ sommets opposés de l’octaèdre. L’ensemble des $4$ triangles comportant le premier sommet est disjoint de l’ensemble des $4$ triangles comportant le second. Par conséquent, on doit avoir que la somme correspondant à chaque sommet est égale à $\frac{36}{2}=18$.

Notons $a$, $b$, $c$, $d$ et $e$ les nombres qu’il faut écrire dans les triangles, comme indiqué sur le patron suivant. Considérons également les sommets $x$ et $y$.

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En considérant la somme correspondant au sommet $x$, on obtient $2+b+4+c=18$, donc $b+c=12$. De même, pour le sommet $y$, on obtient $b+4+e+8=18$, donc $b+e=6$. Comme tous les nombres sont distincts, on a nécessairement $b=5$, $c=7$ et $e=1$. En plaçant ces nombres dans le patron, on conclut que $d=6$ et $a=3$. Par conséquent, la solution est la figure suivante.

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Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

Ana Rechtman — «Mars 2017, 5e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

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  • Mars 2017, 5e défi

    le 31 de marzo de 2017 à 08:43, par Al_louarn

    Partons d’une femme : $F$
    Il y a forcément une femme à côté d’elle, donc nous avons $2$ femmes côte à côte : $FF$
    Il y a forcément un homme à côté de la femme de droite : $FFH$
    Cet homme est forcément entre $2$ femmes : $FFHF$
    Etc.
    De proche en proche on obtient $5$ fois la suite $FFH$.
    Il y a donc $5 \times 2 = 10$ femmes.

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