Défis du calendrier mathématique Retour à la rubrique

Un défi par semaine

Mars 2018, 3e défi

Le 16 mars 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (6)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 11 :

Si $29a\,031\times 342=100\,900\,b02$ où $a$ et $b$ sont des chiffres, quelle est la valeur de $a+b$ ?

Solution du 2e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est :
$25$ membres pratiquent
l’athlétisme, $27$ membres pratiquent la natation et $33$ membres pratiquent le cyclisme.

Soient $x$, $y$ et $z$ le nombre de membres qui pratiquent seulement l’athlétisme, la natation et le cyclisme, respectivement. Appelons $u$ le nombre de membres qui pratiquent l’athlétisme et la natation, $v$ le nombre de ceux qui pratiquent la natation et le cyclisme et $w$ le nombre de ceux qui pratiquent l’athlétisme et le cyclisme. Nous avons donc les équations suivantes

\[\begin{eqnarray*} x+y+z+u+v+w & = & 78\\ 49x+40(u+w) & = & 1198\\ 49y+40(u+v) & = & 1269\\ 49z+40(v+w) & = & 1572. \end{eqnarray*}\]

Les trois dernières équations fournissent des expressions pour $x, y$ et $z$ que l’on peut utiliser dans la première équation pour obtenir

\[\begin{eqnarray*} \frac{1}{49}(1198+1269+1572-80(u+v+w))+u+v+w & = & 78\\ 4039-80(u+v+w)+49(u+v+w) & = & 3822\\ 31(u+v+w) & = & 217\\ u+v+w & = & 7. \end{eqnarray*}\]

Donc $u+w=7-v$ avec $0\leq v\leq 7$, ce qui implique que
\[ 49x+40(7-v)=1198. \]
Autrement dit, $49x=918+40v$. En substituant les valeurs possibles de
$v$, on obtient l’unique solution $v=4$ et par conséquent $x=22$. De
façon analogue, on a alors
\[ 49y+40(7-w)=1269, \]
avec $0\leq w\leq 3$, vu que $u+w=7-v=3$.

L’unique solution est donc $w=1$ et $y=21$. Finalement, on obtient que $u=7-4-1=2$ et $z=78-22-21-7=28$. Par conséquent, il y a $x+u+w=25$ membres qui pratiquent
l’athlétisme, $y+u+v=27$ membres qui pratiquent la natation et $z+v+w=33$ membres qui pratiquent le cyclisme.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Critères de divisibilité par 9 et par 11

le 16 mars 2018 à 09:35, par Daniate

342 est divisible par 9 donc le produit aussi, ce qui impose b=6. Les sommes alternées des chiffres du produit sont alors égales : il est divisible par 11. Comme 342 ne l’est pas , le premier facteur l’est et les sommes alternées imposent a=5. Donc a+b=11
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Mars 2018, 3e défi

le 16 mars 2018 à 13:07, par Niak

Modulo $1000$, on a $b02 \equiv 31\times342 \equiv 602 \bmod 1000$ d’où $b=6$. On peut bêtement obtenir $a$ par $\frac{100900602}{342} = 295031$.
Mais l’utilisation des critères de divisibilité par $9$ et $11$ par Daniate ci-dessus est une méthode plus astucieuse et élégante.
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Mars 2018, 3e défi

le 18 mars 2018 à 16:59, par Daniate

Merci pour votre commentaire. Votre maîtrise des congruences produit souvent des démonstrations agréables et rigoureuses. Je m’en suis inspiré pour regarder le défi avec les congruences modulo 99 soufflées par les critères utilisés. Mon projet était de calculer a+b sans calculer ni a ni b. C’est possible, je vous laisse le soin de retrouver le résultat et, si vous le souhaitez, mettre cette solution en ligne avec MathJax, j’en suis bien incapable.
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Mars 2018, 3e défi

le 18 mars 2018 à 21:52, par Niak

Pourquoi pas mais, sauf erreur, $11$ me semble plus simple à exploiter que $99$. On a $342\equiv1\bmod11$ donc, pour les mêmes raisons que le critère de divisibilité ($10^n\equiv(-1)^n\bmod11$), on a $1 - 3 - a + 9 - 2 \equiv 2+b - 9 + 1 \bmod11$, soit $a+b\equiv0\bmod11$. Or $0\leq a+b\leq18$ donc $a+b=0$ ou $11$. Le premier cas implique $a=b=0$ et est rapidement exclu par le calcul, donc $a+b=11$.
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Mars 2018, 3e défi

le 18 mars 2018 à 22:11, par Niak

Au passage, pour l’écriture des formules en $\LaTeX$, il y a ce petit document (les pages 10-11 contiennent la plupart des symboles « utiles »).
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Mars 2018, 3e défi

le 18 mars 2018 à 23:43, par Daniate

En réfléchissant dans la journée je m’étais rendu compte que l’argument principal pour faire apparaître a+b fonctionnait avec le calcul direct et qu’il se simplifiait encore plus modulo 11 . Et merci pour le lien. je doute que ma vieille caboche s’y retrouve mais je vais quand même essayer.
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Critères de divisibilité par 9 et par 11

le 16 mars 2018 à 09:35, par Daniate