Mars 2018, 5e défi

Le 30 mars 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Il n’y aura pas d’édition papier du calendrier 2018, il faudra attendre l’édition 2019 !

Semaine 13

Trouver le plus grand entier positif $d$ qui divise tous les nombres $n(n+1)(2n+1996)$, où $n$ est un entier positif.

Solution du 4e défi de Mars :

Enoncé

La réponse est
$p=(n+1)!-1$.

En effet, soit $p$ la valeur de la somme.

On a alors
\[\begin{eqnarray*} p + 1 & = & 1 + (1\times 1!)+(2\times 2!)+(3\times 3!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 2!+(2\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (3\times 2!)+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & 3!+(3\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (4\times 3!)+(4\times 4!)+\cdots+(n\times n!)\\ & = & (5\times 4!)+\cdots+(n\times n!). \end{eqnarray*}\]

En continuant de cette manière, on obtient $p+1=(n+1)!$. Par conséquent,
$p=(n+1)!-1$.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Mars 2018, 5e défi

le 30 mars 2018 à 09:48, par Niak

$2n+1996$ est pair, ainsi que $n(n+1)$ (car soit $n$, soit $n+1$ est pair), donc tous les $a_n = n(n+1)(2n+1996)$ sont divisibles par $4$. De plus, si $n=3k+2$, alors $3$ divise $n+1$ et si $n=3k+1$, alors $3$ divise $2n+1996$, donc $3$ divise toujours les $a_n$ qui sont donc divisibles par $12$. Comme $12$ est le PGCD de $a_1=3996$ et $a_2 = 12000$, on en déduit que c’est aussi la réponse.
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