Mars 2019, 3e défi

Le 15 mars 2019 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 11

Un ballon de football est formé de $32$ panneaux de cuir, dont $20$ sont des hexagones réguliers et $12$ des pentagones réguliers. Combien de coutures doit-on réaliser et combien de coins obtient-on ?

Solution du 2e défi de mars :

Enoncé

La solution est : $r=1$.

Écrivons le nombre $r$ sous la forme d’une fraction irréductible $r = \frac ab$ : les nombres $a$ et $b$ sont alors deux entiers naturels premiers entre eux.

On a alors $r + \frac 1r = \frac{a^2+b^2}{ab}$.

Si ce nombre est un entier, le dénominateur $ab$ doit diviser le numérateur $a^2 + b^2$.

Ainsi, $a$ divise $a^2 + b^2$, donc il doit diviser $b^2$.

Comme $a$ et $b$ sont premiers entre eux, cela entraîne $a = 1$.

De manière analogue, on montre que $b = 1$. Cela entraîne $r = 1$.

Comme réciproquement $1$ est clairement solution, on voit que $r = 1$ est l’unique nombre rationnel positif répondant à la question.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Mars 2019, 3e défi

le 15 mars 2019 à 07:38, par Al_louarn

Si on somme le nombre de coutures bordant chaque panneau on obtient le double du nombre total $A$ de coutures puisque chaque couture est commune à $2$ panneaux. Ce qui s’écrit $2A = 20 \times 6 + 12 \times 5$, d’où $A = 90$ coutures.

Comme on connaît le nombre de panneaux $F=32$, la formule d’Euler $S - A + F = 2$ nous donne le nombre de sommets $S=60$.
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Mars 2019, 3e défi

le 15 mars 2019 à 13:30, par Niak

On peut ajouter que ce sujet est abordé régulièrement sur IdM, et, en l’occurrence, pour cette question précise, notamment ici.
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