Un desafío por semana

Marzo 2017, cuarto desafío

El 24 marzo 2017  - Escrito por  Ana Rechtman
El 24 marzo 2017
Artículo original : Mars 2017, 4e défi Ver los comentarios
Leer el artículo en  

Les proponemos un desafío del calendario matemático 2017 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 12 :

En el desarrollo del octaedro, ubicar en cada triángulo los números del $1$ al $8$, de manera que la suma de los números de $4$ triángulos que comparten un vértice sea siempre la misma.

PNG - 28 KB

Solución del tercer desafío de marzo:

Enunciado

La respuesta es $2627$.

Como $x$ y $x+99$ son cuadrados de enteros positivos, tenemos:

$x = n^2$

$x + 99 = m^2.$

Restando ambas ecuaciones, obtenemos $-99=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$, lo cual es equivalente a $99 = (m-n)(n+m)$. Como $m>n>0$, tenemos $m+n>m-n>0$. Por otra parte, la descomposición en factores primos de $99$ es $3^2\times 11$. Luego, tenemos tres casos:

  • $n+m=99$ y $m-n=1$. Al sumar estas dos ecuaciones, obtenemos $2m=100$, es decir, $m=50$. Por lo tanto, $n=49$ y $x=49^2= 2401$.
  • $n+m=33$ y $m-n=3$. De la misma manera, obtenemos $m=18$. Por lo tanto, $n=15$ y $x=15^2= 225$.
  • $n+m=11$ et $m-n=9$. Igualmente, obtenemos $m=10$. Por lo tanto, $n=1$ y $x=1^2= 1$.

Finalmente, la suma de todos los $x$ correspondientes es $2401+225+1=2627$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2017 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Comparte este artículo

Para citar este artículo:

— «Marzo 2017, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - JOSEF P. WILLEMS/FANCY / PHOTONONSTOP

Comentario sobre el artículo

Dejar un comentario

Foro sólo para inscritos

Para participar en este foro, debe registrarte previamente. Gracias por indicar a continuación el identificador personal que se le ha suministrado. Si no está inscrito/a, debe inscribirse.

Conexióninscribirse¿contraseña olvidada?

La traducción del sitio del francés al castellano se realiza gracias al apoyo de diversas instituciones de matemáticas de América Latina.