Enunciado

La respuesta es $2627$.

Como $x$ y $x+99$ son cuadrados de enteros positivos, tenemos :

$x = n^2$

$x + 99 = m^2.$

Restando ambas ecuaciones, obtenemos $-99=n^2-m^2=(n-m)(n+m)$, lo cual es equivalente a $99 = (m-n)(n+m)$. Como $m>n>0$, tenemos $m+n>m-n>0$. Por otra parte, la descomposición en factores primos de $99$ es $3^2\times 11$. Luego, tenemos tres casos :

• $n+m=99$ y $m-n=1$. Al sumar estas dos ecuaciones, obtenemos $2m=100$, es decir, $m=50$. Por lo tanto, $n=49$ y $x=49^2= 2401$.

• $n+m=33$ y $m-n=3$. De la misma manera, obtenemos $m=18$. Por lo tanto, $n=15$ y $x=15^2= 225$.

• $n+m=11$ et $m-n=9$. Igualmente, obtenemos $m=10$. Por lo tanto, $n=1$ y $x=1^2= 1$.

Finalmente, la suma de todos los $x$ correspondientes es $2401+225+1=2627$.