Enunciado

La respuesta es 1.

Sean $x_1$, $x_2$, $\ldots,$ $x_{10}$ los números que pensaron las personas que dijeron $1$, $2$, $\ldots,$ $10$, en este orden, es decir, $x_1$ es el número que pensó la persona que dijo $1$, $x_2$ el número que pensó la persona que dijo $2$, y así sucesivamente.

Podemos escribir las ecuaciones :

\[ x_1+x_3=4,\]

\[x_2+x_4=6,\]

\[x_3+x_5=8,\]

\[x_4+x_6= 10,\]

\[x_5+x_7=12,\]

\[x_6+x_8=14,\]

\[x_7+x_9=16,\]

\[x_8+x_{10}=18,\]

\[x_9+x_1=20,\]

\[x_{10}+x_2=2.\]

Si sumamos las ecuaciones con índices pares, obtenemos :

\[2(x_2 +x_4 + x_6 +x_8+x_{10} ) = 50\]

\[ 6 +x_6 +18 = 25\]

\[x_6+24 = 25.\]

Luego, $x_6=1$. De manera análoga, podemos obtener todos los otros números. Por lo tanto, la persona que dijo $6$ pensó en el número $1$.