Enunciado

La respuesta es 4.

Llamemos a tres pares naturales consecutivos $2n-2$, $2n$, $2n+2$. Se tiene entonces

$(2n-2)^2+(2n)^2+(2n+2)^2 = 4n^2-8n+4+4n^2+4n^2+8n+4$

$= 12n^2+8$

$= 4(3n^2+2).$

Por lo tanto, $4$ divide la suma.
Por otra parte, para ver si 4 es el más grande divisor posible, consideremos los triples $(2, 4, 6)$ y $(4, 6, 8)$. Tenemos entonces

$2^2+4^2+6^2 = 56$

$4^2+6^2+8^2 = 116.$

Vemos que el más grande común divisor de esos dos números es $4$.
En consecuencia, el mayor número natural que divide la suma de los cuadrados de tres números pares consecutivos cualesquiera es $4$.