Enunciado

La respuesta es $5$ conjuntos.

Sea $\{u,v,x,y\}$ un conjunto ordenado intercambiable, entonces podemos suponer

$(10v+u)(10x+y) = (10u+v)(10y+x) $

$10^2 v x+10 v y+10 u x+u y = 10^2 u y+10 u x+10 v y+v x $

$99v x = 99u y$

$v x = u y.$

Por lo tanto, el producto entre el primer y el cuarto número del conjunto es igual al producto entre el segundo y el tercero. Notemos que los primos $5$ y $7$ no pueden formar parte del conjunto. Si el elemento más grande es $4$ entonces el único conjunto posible es $\{1,2,3,4\}$ el cual no es intercambiable.
Por lo que el conjunto debe contener al menos los dígitos $6$, $8$ o $9$.

Si el mayor elemento es $6$, entonces $3$ y otro dígito par debe estar en el conjunto. Tenemos así los siguientes conjuntos intercambiables : $\{1,2,3,6\}$ o $\{2,3,4,6\}$.

Supongamos que el mayor elemento es $8$. entonces $4$ debe ser otro elemento par del conjunto. Como $8=2^3$ y $4=2^2$, los únicos conjuntos intercambiables que tenemos, dada la ecuación $v x = u y$, son $\{3,4,6,8\}$ y $\{1,2,4,8\}$.

Supongamos que el mayor elemento es $9$. Como uno de los números de la ecuación $v x = u y$ debe ser un múltiplo de $9$, deducimos que el otro lado de la igualdad debe tener al $3$ y al $6$. En este caso, el único conjunto intercambiable es $\{2,3,6,9\}$.

Por lo tanto, hay un total de $5$ conjuntos intercambiables de $4$ dígitos.