Un desafío por semana

Mayo 2016, segundo desafío

El 13 mayo 2016  - Escrito por  Ana Rechtman
El 13 mayo 2016
Artículo original : Mai 2016, 2e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2016 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 20 :

Encontrar todos los tríos de números primos $(p, q,r)$ tales que

$15p+7p q+q r=p q r.$

Solución del primer desafío de mayo:

Enunciado

La respuesta es $0$.

Si multiplicamos la segunda ecuación por $xyz$, obtenemos

$2xy=3yz+xz,$

por lo que $2xy-3yz-xz=0$.

Por otra parte, si multiplicamos la primera ecuación por $x$, $y$ y $z$, obtenemos respectivamente:

$3x^2 = xz-2xy,$

$2y^2 = yz-3xy,$

$z^2 = 3xz+2yz.$

Por lo tanto, la expresión $5x^2 - 4y^2 - z^2$ es igual a

$\frac{5}{3} (xz-2xy) - 2(yz-3xy) - (3xz+2yz)=\frac{4}{3}(2xy - 3yz-xz)=0.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2016 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Mayo 2016, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2016

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