Enunciado

La solución es $250$.

Sea $n$ un entero que puede expresarse como la diferencia entre dos cuadrados : $n=x^2-y^2=(x-y)(x+y)$.

Observemos que $(x+y)$ y $(x-y)$ tienen la misma paridad (ambos son pares o ambos son impares), de modo que si $n$ es par, debe ser también múltiplo de $4$.

Por lo tanto, los números pares que no son múltiplos de $4$ no pueden escribirse como la diferencia de dos cuadrados. Estudiemos los otros números :

• Si $n$ es múltiplo de $4$, denotémoslo $n=4m$. Tenemos $(m+1)^2-(m-1)^2=n$.

• Si $n$ es impar, denotémoslo $n=2r+1$. Entonces $(r+1)^2-r^2=n$.

En consecuencia, los números entre $1$ y $1000$ que no pueden escribirse como la diferencia entre dos cuadrados son los números pares que no son múltiplos de $4$, es decir, 2, 6, 10, ..., 998. Esto hace un total de $\frac{1000}{4}=250$ números.