Enunciado

La solución es $\dfrac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.

Comencemos observando que la imagen del triángulo $XYZ$ por un tercio de rotación completa alrededor del eje $(HC)$ envía el punto $X$ sobre $Z$, el punto $Z$ sobre $Y$, y el punto $Y$ sobre $X$. Obtenemos así el mismo triángulo, de lo cual se deduce que este es equilátero. Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo $XDG$ obtenemos $XG^2 = 2^2+3^2 = 13$.

Puesto que $XG$ pertenece a la cara $ADGH$, dicho segmento es perpendicular a $GF$. Por el teorema de Pitágoras aplicado al triángulo $XZG$ tenemos:
\[XZ^2=XG^2 + GZ^2 = 13 + 1 =14.\]
Por lo tanto, $XYZ$ es un triángulo equilátero de lado $\sqrt{14}$ cm, y podemos calcular su área: por el teorema de Pitágoras, su altura mide
\[\sqrt{\left(\sqrt{14}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{14}}{2}\right)^2}=\frac{\sqrt{3\times 14}}{2}\,\mbox{cm},\]
y su área es entonces igual a
$ \frac{\sqrt{14} \times \frac{\sqrt{3\times 14}}{2}}{2} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$ cm$^2$.