Novembre 2016, 3e défi

Le 18 novembre 2016 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2016 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

Théo m’a donné les informations suivantes sur son digicode : il a $6$ chiffres, la somme du premier et du deuxième vaut $17$, la somme du deuxième et du troisième est $15$, tout comme la somme du troisième et du quatrième ; la somme des deux derniers est $9$ et la somme du dernier et du premier est $8$. Quel est le digicode de Théo ?

Solution du 2e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est non.

Remarquons que quand une des sorcières se déplace sur une droite parallèle à celle qui joint les deux autres, l’aire du triangle formé par les trois sorcières reste constante, car deux triangles de même base compris entre deux mêmes droites parallèles ont la même hauteur. Ainsi, quelle que soit la trajectoire des trois sorcières, l’aire du triangle qu’elles forment ne changera pas.

À l’instant initial, les sorcières forment un triangle rectangle dont les côtés de l’angle droit mesurent $2$ et $4$ kilomètres, donc l’aire du triangle est alors de $\frac{2\times 4}2 = 4\,\mbox{km}^2$ (et elle ne changera pas).

En revanche, si les sorcières se trouvaient dans la situation décrite à la fin de l’énoncé, elles formeraient un triangle d’aire $\frac{3\times 3}2 = \frac 92 \neq 4$, ce qui est impossible.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2016 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Aubin Arroyo, Fabiola Manjarrez et Ana Rechtman.
2015, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

Commentaire sur l'article

Novembre 2016, 3e défi

le 18 novembre 2016 à 09:01, par Al_louarn

On cherche le code $abcdef$.
(1) $a+b=17$
(2) $b+c=15$
(3) $c+d=15$
(4) $e+f=9$
(5) $a+f=8$
(4) et (5) donnent $e=a+1$
Mais $e \leq 9$ donc $a+1 \leq 9$, d’où $a+b \leq 8+b$.
Alors (1) donne $17 \leq 8+b$, soit $b \geq 9$ et donc $b=9$.
Le reste vient en cascade :
(1) donne $a=8$ et (2) donne $c=6$.
(5) donne $f=0$ et (3) donne $d=9$.
(4) donne $e=9$.

Le code est donc $896990$.
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