Un défi par semaine

Novembre 2017, 4e défi

Le 24 novembre 2017  - Ecrit par  Ana Rechtman Voir les commentaires (7)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 47 :

On inscrit dans chaque case d’une grille de $3\times 3$ un nombre, de telle sorte que le produit des $4$ nombres dans les carrés de taille $2\times 2$ soit égal à $2$ et le produit des $3$ nombres de chaque ligne ou colonne soit égal à $1$. Quel est le nombre dans la case centrale de la grille ?

Solution du 3e défi de Novembre :

Enoncé

La réponse est un unique nombre.

Cela revient à résoudre $2x^2-2x-2x\sqrt{x^2-2x}=1$. Si l’on pose $y=\sqrt{x^2-2x}$, alors on a $2x^2-2x=x^2 + (x^2-2x)=x^2+y^2$, et l’équation de départ revient à $x^2+y^2-2xy=1$, soit encore $(y-x)^2=1$. Ainsi, $y-x=\pm 1$.

Si $y-x=1$, alors $y=1+x$, et comme $x^2-2x=y^2$,

$x^2-2x = (1+x)^2$

$x^2 -2x =1+2x+x^2$

$x = -\frac{1}{4}.$

Si $y-x=-1$, alors $y=x-1$ d’où $x^2-2x=(x-1)^2=x^2-2x+1$ ce qui implique que $0=1$, donc il n’y a pas de solution dans ce cas. Ainsi, $x=-\frac{1}{4}$ est l’unique solution à cette équation.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Article édité par Ana Rechtman

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Pour citer cet article :

Ana Rechtman — «Novembre 2017, 4e défi» — Images des Mathématiques, CNRS, 2017

Crédits image :

Image à la une - SSGUY / SHUTTERSTOCK

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  • Novembre 2017, 4e défi

    le 24 novembre 2017 à 10:22, par Kamakor

    On appelle ti, pour i allant de 1 à 9, les valeurs vérifiant les conditions demandées quand on les inscrit dans la grille de la façon suivante :

    t1 t2 t3
    t4 t5 t6
    t7 t8 t9

    Le produit P = t1 x t2 x t3 x ... x t9 = (t1 x t2 x t3) x (t4 x t5 x t6) x (t7 x t8 x t9) = 1 x 1 x 1 = 1.
    On peut alors chercher la valeur de P x t1 et en déduire t1.

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