Novembre 2018, 5e défi

Le 30 novembre 2018 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (1)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique chaque vendredi et sa solution la semaine suivante. Le calendrier 2019 est en librairie !

Semaine 48

Trouver le plus grand nombre premier à deux chiffres tel que tant le produit de ses chiffres que le nombre obtenu en échangeant ses chiffres soient aussi des nombres premiers.

Solution du 4e défi de novembre :

Enoncé

La solution est : $3$.

Posons $x=\sqrt{6 +\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}}$.

On a alors
\[\begin{eqnarray*} x^2 & = & 6 +\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}}=6+x\\ x^2-x-6 & = & 0. \end{eqnarray*}\]

On obtient alors $(x-3)(x+2)=0$, d’où $\, x=3$ ou $x=-2$.

Mais comme $x$ est une racine positive, l’unique valeur possible est $x=3$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

Commentaire sur l'article

Novembre 2018, 5e défi

le 30 novembre 2018 à 07:17, par ROUX

Pour que le produit de ses deux chiffres soit un nombre premier, il faut que l’un de ces chiffres soit 1.
Pour avoir le plus grand possible, on part du plus grand donc 1 sera le chiffre des unités et on tâtonne.
71 est un bon candidat.
71 et 7*1=7 et 17 sont premiers.
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