Un desafío por semana

Noviembre 2014, segundo desafío

El 14 noviembre 2014  - Escrito por  Ana Rechtman
El 12 noviembre 2014
Artículo original : Novembre 2014, 2ème défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2014. Su solución aparecerá cuando se publique el siguiente desafío.

Semana 46:

Cada cuarto de círculo está dividido por un segmento de recta en dos partes que tienen áreas iguales. ¿Cuál de los segmentos es el más largo?

Solución del primer desafío de noviembre

Enunciado

La respuesta es $4500$.

Distingamos dos casos: que una de las cifras pares repetida esté al final del número (cuando se lee el número de izquierda a derecha), o que las dos cifras idénticas estén en las cuatro primeras posiciones.

En el primer caso, donde la cifra par repetida está al final del número, la otra cifra idéntica debe estar en la primera, segunda o tercera posición, lo que quiere decir que hay $~3~$ posiciones y $~5~$ números pares posibles para esa cifra. El ladrón debe enseguida elegir una posición para la cifra impar, lo que puede hacer de $~3~$ maneras, y hay $~5~$ números impares posibles. Una vez hecho esto, debe todavía colocar dos números pares en las $~2~$ casillas restantes. Para el primer número el ladrón tiene $~4~$ posibilidades, debido a que ya colocó el par que se repite, y para el segundo número par tiene entonces solamente $~3~$ posibilidades. En consecuencia, en este caso, el ladrón tiene

$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3=5^2 \cdot 3^3 \cdot 4= 2 700~$ posibilidades.

En el segundo caso, el número par repetido puede ir en las otras casillas : una y tres, una y cuatro o dos y cuatro, lo que hace $~3~$ posibilidades, con $~5~$ valores posibles para ese número par. En el casillero final debe ir otra cifra par, para lo cual el ladrón tiene $~4~$ posibilidades. Quedan entonces dos casilleros libres. Una es para la cifra impar, lo que quiere decir que hay $~2~$ posibilidades para colocar cualquiera de las $~5~$ cifras impares ; y la otra es para la última cifra par, donde hay $~3~$ cifras posibles. En total, en este caso, el ladrón tiene

$3\cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3=5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3=1 800~$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta final es $~2700 + 1800 = 4500$.

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2014 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Étienne Ghys - Ilustraciones: Jos Leys.
2013, Googol, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2014, segundo desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2014

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ’’El atractor de Lorenz’’, por Jos Leys.

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