Enunciado

La respuesta es $4500$.

Distingamos dos casos: que una de las cifras pares repetida esté al final del número (cuando se lee el número de izquierda a derecha), o que las dos cifras idénticas estén en las cuatro primeras posiciones.

En el primer caso, donde la cifra par repetida está al final del número, la otra cifra idéntica debe estar en la primera, segunda o tercera posición, lo que quiere decir que hay $~3~$ posiciones y $~5~$ números pares posibles para esa cifra. El ladrón debe enseguida elegir una posición para la cifra impar, lo que puede hacer de $~3~$ maneras, y hay $~5~$ números impares posibles. Una vez hecho esto, debe todavía colocar dos números pares en las $~2~$ casillas restantes. Para el primer número el ladrón tiene $~4~$ posibilidades, debido a que ya colocó el par que se repite, y para el segundo número par tiene entonces solamente $~3~$ posibilidades. En consecuencia, en este caso, el ladrón tiene

$3 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 5\cdot 4 \cdot 3=5^2 \cdot 3^3 \cdot 4= 2 700~$ posibilidades.

En el segundo caso, el número par repetido puede ir en las otras casillas : una y tres, una y cuatro o dos y cuatro, lo que hace $~3~$ posibilidades, con $~5~$ valores posibles para ese número par. En el casillero final debe ir otra cifra par, para lo cual el ladrón tiene $~4~$ posibilidades. Quedan entonces dos casilleros libres. Una es para la cifra impar, lo que quiere decir que hay $~2~$ posibilidades para colocar cualquiera de las $~5~$ cifras impares ; y la otra es para la última cifra par, donde hay $~3~$ cifras posibles. En total, en este caso, el ladrón tiene

$3\cdot 5 \cdot 4 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3=5^2 \cdot 3^2 \cdot 2^3=1 800~$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta final es $~2700 + 1800 = 4500$.