Enunciado

La respuesta es sí.

Consideremos dos números de dos dígitos $ab$ y $cd$, con $a$, $b$, $c$ y $d$ sus dígitos. Su producto vale entonces

$(10a+b)\times(10c+d)=100ac+10(bc+ad)+bd.$

Al intercambiar los dígitos de las unidades y las decenas, estos números se vuelven $ba$ y $dc$. Su producto es ahora

$(10b+a)\times(10d+c)=100bd+10(bc+ad)+ac.$

La propiedad pedida se satisface si tenemos $bd = ac$. Ahora es fácil encontrar tales números, por ejemplo $a=1, b=2, c=6$ y $d=3$, o bien $a=1, b=2, c=8$ y $d=4$, o también $a=1, b=3, c=9$ y $d=3$.
Esto nos da las multiplicaciones

$12\times 63 = 21 \times 36=756$

$12\times 84 = 21 \times 48=1\,008$

$13\times 93 = 31 \times 39=1\,209.$