Un desafío por semana

Noviembre 2015, cuarto desafío

El 27 noviembre 2015  - Escrito por  Ana Rechtman
El 27 noviembre 2015
Artículo original : Novembre 2015, 4e défi Ver los comentarios
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Les proponemos un desafío del calendario matemático 2015 cada viernes, y su solución a la semana siguiente.

Semana 48:

Consideremos los $120$ números de cuatro dígitos distintos formados usando solo los dígitos $1$, $2$, $3$, $4$ y $5$. La suma de estos $120$ números nos da como resultado $S$. Calcular la suma de los dígitos de $S$.

Solución del tercer desafío de noviembre:

Enunciado

La respuesta es sí.

Consideremos dos números de dos dígitos $ab$ y $cd$, con $a$, $b$, $c$ y $d$ sus dígitos. Su producto vale entonces

$(10a+b)\times(10c+d)=100ac+10(bc+ad)+bd.$

Al intercambiar los dígitos de las unidades y las decenas, estos números se vuelven $ba$ y $dc$. Su producto es ahora

$(10b+a)\times(10d+c)=100bd+10(bc+ad)+ac.$

La propiedad pedida se satisface si tenemos $bd = ac$. Ahora es fácil encontrar tales números, por ejemplo $a=1, b=2, c=6$ y $d=3$, o bien $a=1, b=2, c=8$ y $d=4$, o también $a=1, b=3, c=9$ y $d=3$.
Esto nos da las multiplicaciones

$12\times 63 = 21 \times 36=756$

$12\times 84 = 21 \times 48=1\,008$

$13\times 93 = 31 \times 39=1\,209.$

Post-scriptum :

Calendario Matemático 2015 - Bajo la dirección de Ana Rechtman Bulajich, Anne Alberro Semerena, Radmilla Bulajich Manfrino - Textos: Ian Stewart.
2014, Presses universitaires de Strasbourg. Todos los derechos reservados.

Artículo original editado por Ana Rechtman

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2015, cuarto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2015

Créditos de las imágenes:

Imagen de portada - ANDREA POSTOLESI / TIPS / PHOTONONSTOP

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