Enunciado

La respuesta es un solo número.

Escribiremos la ecuación como $2x^2-2x-2x\sqrt{x^2-2x}=1$. Sea $y=\sqrt{x^2-2x}$. Tenemos $2x^2-2x=x^2 + (x^2-2x)=x^2+y^2$, y la ecuación se vuelve $x^2+y^2-2xy=1$, por lo que $(y-x)^2=1$. Luego, $y-x=\pm 1$.

Si $y-x=1$, entonces $y=1+x$, y como $x^2-2x=y^2$,

$x^2-2x = (1+x)^2$

$x^2 -2x =1+2x+x^2$

$x = -\frac{1}{4}.$

Si $y-x=-1$, entonces $y=x-1$ de donde $x^2-2x=(x-1)^2=x^2-2x+1$, lo que implica que $0=1$, por lo que no existen soluciones en este caso. Finalmente, $x=-\frac{1}{4}$ es la única solución de esta ecuación.