Un desafío por semana

Noviembre 2019, primer desafío

El 1ro noviembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 1ro noviembre 2019
Artículo original : Novembre 2019, 1er défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 44

Sin levantar el lápiz, dibuja los cuatro segmentos de rectas que pasan por los nueve puntos de la figura:

Solución del cuarto desafío de octubre:

Enunciado

La solución es $\tfrac{1}{4}$.

Se trata de un problema de probabilidad geométrica que se resuelve calculando áreas de regiones del plano. Si se escogen al azar dos números $a$ y $b$ con $0 < a < b < 1$, el espacio de probabilidad es:
$$ \Omega= \{\text{$(a,b)$ del plano tales que $0 < a < b < 1$}\}, $$ es decir, el conjunto de pares $(a,b)$ que se encuentran en el triángulo $\Omega$: Observemos primero que el área de $\Omega$ es $1/4$. Cortando el alambre en los puntos $a$ y $b$, obtenemos tres segmentos, el primero de longitud $a$, el segundo de longitud $b - a$ y el tercero de longitud $1 - b$. Una condición necesaria y suficiente para poder formar el triángulo es que estos tres segmentos satisfagan la desigualdad del triángulo en todas sus posibilidades, es decir: $$ \begin{align} a + (b - a) &\geq (1 - b),\quad \text{o bien, $b\geq 1/2$},\\ a + (1 - b) &\geq (b - a),\quad \text{o bien, $b\leq (2a+1)/2$},\\ (b - a) + (1 - b) &\geq a,\enspace\enspace\enspace\qquad \text{o bien, $a\leq 1/2$.} \end{align} $$ La región $A$ de $\Omega$ que satisface las equaciones $(1)$, $(2)$ y $(3)$ es $$ A = \{(a,b) \text{ en $\Omega$ tal que $a\leq 1/2$, $b\geq 1/2$ y $b\leq (2a+1)/2$}\}. $$ Sobre una gráfica, esto se ve: La región $A$ es un triángulo completamente incluido en el triángulo $\Omega$ y de área $1/8$. Entonces la probabilidad de formar un triángulo con los segmentos $a$, $b - a$ y $1 - b$, es: $$ P(\text{Formar un triángulo}) = \frac{\text{Área de $A$}}{\text{Área de $\Omega$}} = \frac{1/8}{1/2} = \frac{1}{4}. $$

Post-scriptum :

Calendario matemático 2019 (versión en español) - Bajo la dirección de Anne Alberro y Radmila Bulajich - 2018, Googol S.A. de C.V. Todos los derechos reservados.

Calendario matemático 2019 (versión francesa) - Bajo la dirección de Ana Rechtman, con la contribución de Nicolas Hussenot - Textos: Claire Coiffard-Marre y Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Todos los derechos reservados.

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2019, primer desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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