Un desafío por semana

Noviembre 2019, quinto desafío

El 29 noviembre 2019  - Escrito por  Ana Rechtman
El 29 noviembre 2019
Artículo original : Novembre 2019, 5e défi Ver los comentarios
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Proponemos un desafío del Calendario Matemático por semana y su solución a la semana siguiente. ¡El calendario 2019 está en librerías (en Francia)!

Semana 48

¿Cuántas ternas $(x,y,z)$ de números enteros satisfacen la desigualdad $x^2 + y^2 + z^2 + 3 < xy + 3y + 2z$?

Solución del cuarto desafío de noviembre:

Enunciado

La solución es: $18$ dígitos.

Denotemos $a$ el número inicial cuya escritura termina en $2$, y $b$ el número obtenido tras desplazar dicho $2$ a la primera posición (de izquierda a derecha). Por hipótesis, tenemos $2a=b$. Como $a$ termina con un $2$, el número $b$ termina con un $4$. Por lo tanto, $a$ termina en $42$, y consecuentemente $b$ termina en $84$. Por tanto, $a$ termina en $842$, y luego $b$ termina en $684$ (nota que aquí no podemos decir que $b$ termina en $1684$). Continuando de esta forma, vemos que $a$ termina en $6842$, y $b$ en $3684$. Más adelante constatamos que $a$ termina en $105\,263\,157\,894\,736\,842$. En este momento, la multiplicación por $2$ muestra que $b$ comienza por
\[ 105\, 263\, 157\, 894\, 736\, 842 \times 2 = 2«{105\,263\,157\,894\,736\,84}». \]

Como este número es obtenido justamente al desplazar el $2$ final de $a$, vemos que esta elección de $a$ funciona, y que cualquier otro $a$ debe terminar así. En consecuencia, el número $105\,263\,157\,894\,736\,842$ posee $18$ cifras.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2019 - Sous la direction d’Ana Rechtman, avec la contribution de Nicolas Hussenot - Textes : Claire Coiffard-Marre et Ségolen Geffray. 2018, Presses universitaires de Grenoble. Tous droits réservés.

Disponible en librairie et sur www.pug.fr

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Para citar este artículo:

— «Noviembre 2019, quinto desafío» — Images des Mathématiques, CNRS, 2019

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