Enunciado

La solución es : $18$ dígitos.

Denotemos $a$ el número inicial cuya escritura termina en $2$, y $b$ el número obtenido tras desplazar dicho $2$ a la primera posición (de izquierda a derecha). Por hipótesis, tenemos $2a=b$. Como $a$ termina con un $2$, el número $b$ termina con un $4$. Por lo tanto, $a$ termina en $42$, y consecuentemente $b$ termina en $84$. Por tanto, $a$ termina en $842$, y luego $b$ termina en $684$ (nota que aquí no podemos decir que $b$ termina en $1684$). Continuando de esta forma, vemos que $a$ termina en $6842$, y $b$ en $3684$. Más adelante constatamos que $a$ termina en $105\,263\,157\,894\,736\,842$. En este momento, la multiplicación por $2$ muestra que $b$ comienza por
\[ 105\, 263\, 157\, 894\, 736\, 842 \times 2 = 2«{105\,263\,157\,894\,736\,84}». \]

Como este número es obtenido justamente al desplazar el $2$ final de $a$, vemos que esta elección de $a$ funciona, y que cualquier otro $a$ debe terminar así. En consecuencia, el número $105\,263\,157\,894\,736\,842$ posee $18$ cifras.