Todos los matemáticos de hoy en día conocen el nombre de Jacques Hadamard (1865-1963), no sólo porque le dio nombre a una biblioteca y a una ’’fundación matemática’’... sino también, por ejemplo, porque han encontrado en los cursos de análisis complejo de Licencia [1], una

o un ’’teorema de los tres círculos de Hadamard’’...

Nota. Detalles un poco más técnicos están escondidos en los ’’bloques desplegables’’ como el de arriba, o éste que da la forma de empleo :

En efecto, es el análisis complejo, es decir de ’’funciones de una variable compleja’’, a lo que Jacques Hadamard, matemático universal, se dedicó al principio de su vida matemática. ¡No se detenga aquí ! Estas palabras serán explicadas más abajo. Uno de los triunfos de la teoría de estas funciones fue la demostración en 1896, por Jacques Hadamard, del ’’teorema de los números primos’’ [2]. No se trata, como a menudo creen nuestros estudiantes, del teorema que dice que existe una infinidad de números primos : aquél es elemental (vea este documento). Se trata de decir, con alguna precisión, cómo están repartidos los números primos entre todos los números enteros.

Nota. El teorema de los números primos es un teorema difícil, que yo enseño en cuarto año de universidad a estudiantes avanzados. Para este artículo, solo podré presentar el enunciado y las herramientas principales de la demostración.

Los números primos

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23,... Los números primos son los números enteros que son divisibles sólo por sí mismos y por 1 [3]. Por ejemplo, el único número que es primo y a la vez par es 2. Los números primos juegan en la aritmética el papel de ladrillos de base, porque cada número entero puede escribirse como un producto de números primos.

Hay una infinidad de números primos. Pero eso no es todo... dejemos la palabra a Euler.

Euler

En 1747, Leonhard Euler escribió

no hay más que darle una mirada a las tablas de números primos —que algunas personas se han dado el trabajo de seguir más allá del cien mil— para darse cuenta, primero, que ahí no reina ningún orden ni regla [4].

La distribución de los números primos entre los números enteros parece, en efecto, extremadamente desordenada. Los lectores que lo deseen pueden hacerse una idea mirando las listas de números primos por ejemplo aquí. Por ejemplo, puede haber un gran espacio entre dos números primos.

Por otra parte, puede ser cierto (es la conjetura llamada ’’de los números primos gemelos’’) que haya una infinidad de pares de números primos a una distancia $2$ uno del otro (como $3$ y $5$, o $59$ y $61$...). Es un antiguo problema aún sin resolver. Pero ha habido progresos recientes, para los cuales derivo a este artículo.

El teorema

Entonces ¿de qué se trata ? Llamemos —como es la tradición— $\pi(n)$ (leer ’’pi de ene’’) al número de números primos entre los $n$ primeros números enteros.

El teorema de los números primos afirma que, cuando $n$ es muy grande, $\pi(n)$ vale aproximadamente $n/\ln n$. O dicho de otra manera, que la proporción de números primos entre los $n$ primeros números enteros, $\pi(n)/n$, se comporta como $1/\ln n$.

Esto podría escribirse de la siguiente manera

\[\frac{\pi(n)}{n}\sim\frac{1}{\ln n}.\]

Como yo espero que haya lectores que no saben ’’cómo se comporta $1/\ln n$’’ y que han llegado a este punto del artículo, he aquí dos pequeñas explicaciones, cada vez menos técnicas :

• la función $\ln n$ es creciente, así que $1/\ln n$ es decreciente, el enunciado indica por lo tanto que $\pi(n)/n$ decrece,
• la función $\ln n$ crece hacia el infinito, así que $1/\ln n$ decrece hacia $0$, el enunciado indica entonces que $\pi(n)/n$ decrece hacia $0$,
• en otras palabras, aunque haya una infinidad de números primos, existe, en proporción, cada vez menos entre los enteros... e incluso, eligiendo un $n$ bastante grande, se puede hacer esta proporción tan pequeña como uno quiera.

¿Por qué esta idea ?

Ciertamente, esta idea viene de experiencias y cálculos efectuados por los matemáticos, Euler por ejemplo, y también otros. Como no tenían computadores, ellos eran excelentes calculadores y poseían un gran sentido de observación. Algunos de los matemáticos que contribuyeron a esta idea están citados un poco más abajo.

Observemos nosotros también. La primera figura muestra los valores de $\pi(n)$ para $n\leq 56$.

La segunda figura muestra los de $\pi(n)/n$ para $50\leq n\leq 550$.

Es una función que decrece, pero bastante lentamente, al menos en la región considerada donde $n$ es bastante pequeño (inferior a $550$).

Esas figuras no prueban nada. Pueden a lo más ser consideradas un poco como experimentos : indican tal vez una tendencia, sugieren un enunciado que podría ser verdadero... pero falta aún demostrarlo.

¿Y cómo hacerlo ? Antes de dar las respuestas a esta pregunta, digamos que uno estudia un fenómeno ’’discreto’’, números enteros. Tal como está escrito el enunciado (’’vale cerca de’’ es bastante vago). Se trata en realidad de un

y la demostración va a movilizar ideas ’’continuas’’ (por oposición a ’’discretas’’), y aún más.

Ya que hay un paso al límite para $n$ ’’tendiendo al infinito’’, hay que ir a mirar números cada vez más grandes.

La tercera figura nos muestra de nuevo $\pi(n)/n$, siempre en rojo, para $n\leq 100\,000\,000$. El eje horizontal está graduado de una manera poco habitual : 1 significa $10^1$ (es decir $10$), 2 significa $10^2$ (es decir $100$), y así sucesivamente hasta $8$, que significa $10^8$, cien mil millones. Para pasar de $1$ a $2$, uno no agrega $1$ sino que multiplica por $10$, lo que se llama una ’’escala logarítmica’’, y es muy práctica para representar grandes números. La curva azul representa, en la misma escala, el gráfico de la función $1/\ln x$.

La función zeta de Riemann

La herramienta esencial de la demostración de Hadamard es la función zeta de Riemann. Zeta es el nombre de la letra equivalente a la Z en griego. Por definición, $\zeta(k)$ es la suma de una infinidad de términos, los $1/n^k$, que uno escribe :

\[\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^k}.\]

En esta fórmula, el símbolo $\sum$ reemplaza muchos puntos suspensivos,

\[\zeta(k)=\frac{1}{1^k}+\frac{1}{2^k}+\frac{1}{3^k}+\cdots\]

Uno puede contentarse con admirar esta fórmula. Se puede tratar también de comprender de qué se trata.

En 1737, Euler (siempre él) demostró la igualdad [5]

\[\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^k}=\prod_{p\text{ primo}}\Big(1-\frac{1}{p^k}\Big)^{-1}\text{ para }k>1.\]

Aquí, $\prod$ resume también una fórmula con muchos puntos suspensivos, multiplicativos esta vez :

\[\Big(1-\frac{1}{2^k}\Big)^{-1}\Big(1-\frac{1}{3^k}\Big)^{-1}\Big(1-\frac{1}{5^k}\Big)^{-1}\cdots\]

La fórmula de Euler relaciona esta suma infinita (sobre todos los números enteros) con un producto infinito (sobre todos los números primos).

De la fórmula de Euler se deduce ya informaciones sobre la repartición de números primos. Eso implica que

lo que muestra por ejemplo, que los números primos son más ’’densos’’ que los cuadrados de los números enteros, ya que

Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Además de los ’’experimentos’’ resumidos en las figuras de más arriba, el enunciado del teorema de números primos, equivalencia entre $\pi(n)$ y $n/\ln n$, es una conjetura derivada del trabajo, especialmente de Legendre (1808) [6], Gauss (que lo había dicho antes, pero que no lo había escrito), y Tchebychev (1848)... Mucha gente trabajó en los números primos y no tengo espacio aquí para citarlos a todos. Sería sin embargo lamentable no nombrar a Dirichlet (acerca de sus trabajos sobre los números primos y especialmente del teorema de la progresión aritmética, vea este artículo) ; más aún dado que Hadamard utilizó lo que se llama las ’’series de Dirichlet’’ [7] en su demostración.

Es con Riemann en 1859 que comienza la verdadera historia de la repartición de los números primos. Él quería comprender $\pi(n)$ y trató de escribirla como una suma infinita cuyo término principal [8] sería

\[\text{li}(n)=\int_2^n\frac{dt}{\ln t}.\]

Esta fórmula es dada aquí por razones puramente estéticas.

Y porque eso daría el resultado deseado, y mucho más.

Un solo problema : Riemann no logró demostrarlo. Pero durante sus intentos tuvo la grandiosa idea de considerar

\[\zeta(s)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^s}\]

como una función de la variable compleja $s$, es decir, considerando $s$ tomando valores en el ’’plano complejo’’.

Bernhard Riemann

Hasta aquí, el exponente, notado $k$, de los $n$ de la fórmula mediante la cual definimos $\zeta$,

\[\zeta(k)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^k}\]

era sobre todo considerado como un número entero, en el mejor de los casos como un número real mayor a $1$.

De $k$ a $s$, paréntesis acerca del paso de números reales a números complejo

Las figuras precedentes representan gráficos de funciones. El eje horizontal representa los números habituales, los números reales. Estudiar este tipo de función es hacer análisis real. En análisis complejo, en vez de una variable que es un número real (y que uno llama a menudo $x$), se considera una variable compleja : en lugar de variar sobre una recta, varía en un plano. Se la describe entonces con dos coordenadas, absisa y ordenada, $x$ e $y$, que uno reagrupa bajo la forma $x+iy$ (de preferencia a $(x,y)$). Ese ’’número’’ $x+iy$ se abrevia a menudo como $z$ (o $s$ en las notaciones de Riemann). Aquí hay que hacer algunos comentarios :

— Primero, los números reales están presentes dentro los números complejos : las notaciones son bastante buenas para que $x$ y $x+i0$ designen la misma cosa ;
— Luego, es agradable estar sobre un plano más que en una recta : cuando uno encuentra un obstáculo, se lo puede sortear ;
— Con esos números $x+iy$, se puede prolongar las operaciones de números ordinarios, conviniendo que $i$ (que es $0+i1$) elevado al cuadrado, vale $-1$ [9].

Fin del paréntesis, regreso a zeta...

Aquí, este artículo se vuelve incluso más difícil. Me disculpo ante los lectores, a quienes espero haber dado al menos una idea del perfume de este hermoso teorema de Hadamard.

Riemann mostró que la fórmula para $\zeta(s)$ definía una función de $s=x+iy$ para $x>1$ (e $y$ cualquiera) y que era posible prolongar esta función a todo el plano de los $s$, excepto el punto $s=1$ [10],

Se demuestra [11] que, para $x<0$, $\zeta$ se anula en los puntos $-2, -4,\ldots, -2n,\ldots$. Estos ceros de $\zeta$ son calificados como ’’triviales’’ [12]. Para $x>1$, la fórmula de Euler es válida y entonces $\zeta$ no se anula (ninguno de los factores del producto infinito se anula). Finalmente, se demuestra que

De esta fórmula se puede deducir que $\zeta(s)$ no se anula para $s$ real en $]0,1[$.

En fin, aparte de aquellos que llamamos « triviales », los ceros de la función $\zeta$ son complejos (no reales) y están en la banda $0\leq x\leq 1$.

La hipótesis de Riemann. Lo que nos lleva al famoso problema llamado ’’hipótesis de Riemann’’ (aquí ’’hipótesis’’ quiere decir ’’conjetura’’ [13]) : todos los ceros no triviales de $\zeta$ están sobre la recta $x=1/2$.

Demostrar esta conjetura reportaría un millón de dólares [14]. Numerosos matemáticos célebres han tratado de demostrar esta conjetura. Citaré solamente a André Weil, que es uno de aquellos que más se han acercado en el siglo XX, y que dijo, respondiendo a una pregunta de la revista francesa Pour la Science, en noviembre de 1979 :

PLS : ¿Es un teorema que usted habría querido demostrar ?

André Weil : En otro tiempo, algunas veces me vino a la mente que —si podía demostrar la hipótesis de Riemann, que había sido formulada en 1859— la mantendría en secreto para revelarla sólo en su centenario, en 1959. Como en 1959 yo sentía estar aún lejos, poco a poco renuncié a eso, no sin lamentarlo.

[...]

Ahora bien, la hipótesis de Riemann no es un punto aislado de las matemáticas sino al contrario, constituye un cerrojo de la teoría de los números. Para demostrarlo, sería necesario primero conocer más, y en consecuencia hacer progresar la teoría de los números.

... Una conjetura, un premio, una tesis...

Uno de los primeros en ’’demostrar’’ la hipótesis de Riemann fue, en 1890, Thomas Stieltjes. Lo que había entusiasmado mucho a su amigo Charles Hermite, que era entonces el matemático ’’líder’’ en Francia y el presidente de la Academia de Ciencias. Al punto que esta Academia puso en concurso un Gran Premio de ciencias matemáticas, en 1892, sobre este asunto.

Thomas Stieltjes

Afortunadamente, el tema del premio estaba redactado así :

Determinación del número de números primos inferiores a una cantidad dada.

Cuando Stieltjes se dio cuenta que su demostración era falsa, el tema convino a lo que había hecho el joven Jacques Hadamard en su tesis (propiedades de la función zeta)... y es a él a quien se concedió el premio.

Fue cuatro años más tarde cuando Jacques Hadamard demostró otro teorema sobre la repartición de números primos, el teorema notable (para el cual no hubo premio) que es el tema de este artículo.

... y regreso al joven Jacques Hadamard

Jacques Hadamard

Volvamos entonces a nuestro héroe del momento, Jacques Hadamard, ahora de treinta años de edad, ya que este artículo se trata de un teorema demostrado y no de una conjetura. Él lo demostró en dos etapas :

— primero, demostró que $\zeta$ no tiene cero sobre la recta $x=1$ ;

— y luego, demostró que esto es suficiente para obtener el resultado esperado en $\pi(n)$.

Esto fue objeto de un anuncio en Comptes rendus de l’Académie des sciences, el 22 de junio de 1896, y de un artículo en el Boletín de la Sociedad Matemática de Francia [15].