Octobre 2017, 1er défi

Le 6 octobre 2017 - Ecrit par Ana Rechtman Voir les commentaires (2)
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Nous vous proposons un défi du calendrier mathématique 2017 chaque vendredi et sa solution la semaine suivante.

Semaine 40 :

Chaque case contient un nombre. Dans les trois cases centrales, le nombre est égal à la moyenne de ses deux voisins. Combien vaut $x$ ?

Solution du 5e défi de Septembre :

Enoncé

La réponse est $\dfrac{98}{125}$.

Il y a $1000$ nombres entre $0$ et $999$. Pour compter la proportion de ceux dont un chiffre au moins dépasse $5$, comptons les autres. Il s’agit des nombres dont tous les chiffres sont $0$, $1$, $2$, $3$, $4$ ou $5$ (ce qui fait $6$ possibilités) : il y en a donc $6 \times 6 \times 6 = 216$. Ainsi, il y a $1000 - 216 = 784$ nombres dont un chiffre au moins dépasse $5$, et la probabilité cherchée est $\dfrac{784}{1000} = \dfrac{98}{125}$.

Post-scriptum :

Calendrier mathématique 2017 - Sous la direction d’Ana Rechtman, Maxime Bourrigan - Textes : Antoine Rousseau et Marcela Szopos.
2016, Presses universitaires de Strasbourg. Tous droits réservés.

Commentaire sur l'article

Octobre 2017, 1er défi

le 6 octobre 2017 à 08:52, par Al_louarn

La suite formée par les nombres est arithmétique de raison $r$. Si ce n’était pas le cas elle contiendrait trois nombres consécutifs $a$,$b$,$c$ tels que $b-a \neq c-b$ et alors $b$ ne serait pas la moyenne de $a$ et $c$.
Donc $26=8+3r$, d’où $r=6$ et $x=26+6=32$.
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Une solution géométrique.

le 9 octobre 2017 à 20:16, par Carlo

Si chaque case contient un nombre qui est la moyenne de ses voisins, alors chaque point de coordonnées $(n, c_n)$, où $c_n$ est le nombre dans la $n$-ième case, est le milieu des ses voisins. Alors tous les points sont alignés sur une ligne droite. Donc, nous pouvons trouver $x$ par une proportion : $(x-26):(5-4)=(26-8):(4-1)$ d’où nous avons $x=32$.
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